Considere o triângulo de vértices (0, 4), (2, −2) e (4, 0). Faça um esboço do triângulo e utilize integral para calcular sua área.

Passo 1

Olá, aqui queremos calcular uma área com uso de integrais.

Então precisamos lembrar que a área de uma região é a integral da curva de cima menos a curva de baixo. Ou, se vamos derivar em y, a integral da curva da direita, menos a da curva da esquerda. Calma que você vai entender isso!

Para nos ajudar com o esboço iremos utilizar o GeoGebra.

Já adianto que aqui a gente vai precisar de duas regiões, porque não temos como definir toda a região apenas entre 2 curvas. Ou separamos em x=2 ou separamos em y=0. Os 2 casos dão certo igual.

Passo 2

Para que possamos calcular a nossa área, será necessário encontrar as funções f x ,   g x e   h ( x ) .

Para encontrarmos essa nossa equação, poderemos utilizar de duas formulas:

m = y A - y B x A - x B

y - y p = m x - x p

Para AC

m = 4 - 0 0 - 4 = - 1

y - 4 = - x - 0

y = - x + 4

Para AB

m = 4 - - 2 0 - 2 = - 3

y - 4 = - 3 x - 0

y = - 3 x + 4

Para CB

m = - 2 - 0 2 - 4 = 1

y - 0 = 1 x - 4

y = x - 4

Podemos agora calcular nossa área? Sim e não, a forma que a nossa figura está dificulta um pouco calcular nossa área por meio de integração, então iremos dividir a nossa figura em duas para facilitar nossas vidas.

Passo 3

Para resolver iremos dividir em relação a y = 0 . Para calcularmos a área de utilizando a integral, o que iremos fazer é integrar a função de cima, a mais superior, menos a de baixo. Veja a seguir para ver se ficou claro.

Calculando a área do triangulo superior, teremos.

A =   ∫ 0 4 4 - y - 4 - y 3 d y

= 16 - 8 - 8 3

= 16 3

Para o triangulo inferior,

A =   ∫ - 2 0 y + 4 - 4 - y 3 d y

= - 2 + 8 + 10 3

= 8 3

A área total é entao a soma das nossas duas áreas,

= 8   u . a

Resposta

= 8   u . a

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