Exercícios Resolvidos de Área entre Curvas

R delimitada por uma reta e uma parábola, conforme o esboço abaixo:

Sabendo que:

  • A parábola possui vértice na origem e passa pelo ponto ( 1 ,   2 )
  • A reta passa pelos pontos 1 2 ,   0 e 0 ,   - 1
  1. Determine a equação da parábola e a equação da reta
  2. Descreva a região R através de um conjunto de desigualdades
  3. Escreva a área da região R através de uma integral ou de uma soma de integrais (Não é necessário calcular a integral)
  4. Calcule a área da região R

Passo 1

  1. Observando a figura, vemos que a parábola é do tipo deitada e com vértice na origem, logo sua equação é do tipo x = a y 2 . Como ela passa pelo ponto ( 1 ,   2 ) podemos substitui-lo nessa equação e encontrar o coeficiente a :
  2. 1 = a . 2 2

    1 = 4 a

    a = 1 4

    Agora temos a equação dessa parábola, que é:

    x = y 2 4

    Passo 2

    Agora falta achar a equação da reta, que genericamente é y = a x + b

    Se substituirmos os dois pontos dados por onde a reta passa, vamos conseguir descobrir os coeficientes a e b .

    - 1 = 0 x + b

    b = - 1

    Opa! Descobrimos o coeficiente linear da reta. Agora vamos substituir o outro ponto:

    0 = 1 2 ∙ a - 1

    a 2 = 1

    a = 2

    Portanto a equação da reta é y = 2 x - 1

    Passo 3

  3. Vamos tentar entender o que é essa região dada, que está compreendida entre os gráficos da parábola e da reta.
  4. x , dá pra ver que os valores de x são sempre maiores ou iguais à parábola. Isso fica mais claro olhando pra essa figura:

    Matematicamente, a gente pode escrever isso dessa forma:

    x ≥ y 2 4

    y , vemos que os valores de y estão sempre acima ou são iguais a reta, como mostrado na figura:

    Escrevendo essa conclusão em “matematiquês” vamos ter:

    y ≥ 2 x - 1

    Portanto, a região R pode ser descrita pelas desigualdades:

    R = x ≥ y 2 4 y ≥ 2 x - 1

    Passo 4

  5. Como o item pede pra gente determinar uma integral que represente a área da região R , sabemos que essa integral precisa der definida. Então, primeiro temos que achar as interseções entre as curvas pra podermos saber o intervalo de integração que vamos usar na integral. Pra isso, podemos substituir a equação da parábola na da reta:
  6. y = 2 ∙ y 2 4 - 1

    y = y 2 2 - 1

    y 2 2 - y - 1 = 0

    y 2 - 2 y - 2 = 0

    y = 1 ± √ 3

    Substituindo os valores de y   encontrados na equação da reta vamos obter os valores de x , e os pontos de interseção vão ser:

    1 - 3 2 4 ,   1 - √ 3

    E

    1 + 3 2 4 ,   1 + √ 3

    Passo 5

    Olhando em relação ao eixo y , a área de R corresponde a área abaixo da reta menos a área abaixo da parábola, então dentro da nossa integral ficaria uma coisa assim:

    2 x - 1 - y 2 4

    Como não podemos integrar em relação a duas variáveis, vamos reescrever a equação da reta de modo a tirar a variável x (já que estamos olhando em relação ao eixo y a integral será em relação à y ).

    y = 2 x - 1

    x = y + 1 2

    Voltando pra subtração que fizemos ali em cima, o que teríamos então dentro da integral seria:

    y + 1 2 - y 2 4

    Passo 6

    Só falta a gente definir qual vai ser o intervalo de integração. Perceba que o y varia de um ponto de interseção ao outro, então vamos integrar de

    y = 1 - √ 3

    até

    y = 1 + √ 3

    Passo 7

    Agora é só montar a integral!

    Á r e a   d e   R =   ∫ 1 - √ 3 1 + √ 3 y + 1 2 - y 2 4   d y

    Passo 8

  7. Pra calcular a área de R temos que resolver a integral definida que acabamos de determinar. Vamos primeiro integrar indefinidamente a função, assim:

∫ y + 1 2 - y 2 4   d y = ∫ y 2 + 1 2 - y 2 4   d y = y 2 4 + y 2 - y 3 12  

Voltando pra integral definida, ficamos com:

∫ 1 - √ 3 1 + √ 3 y + 1 2 - y 2 4   d y =   y 2 4 + y 2 - y 3 12 1 - 3 1 + 3

Resolvendo:

y 2 4 + y 2 - y 3 12 1 - 3 1 + 3 = 1 + 3 2 4 + 1 + 3 2 - 1 + 3 3 12 - 1 - 3 2 4 + 1 - 3 2 - 1 - 3 3 12

= √ 3

Pronto! A área de R equivale a √ 3

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Resposta

a) x = y 2 4 e y = 2 x - 1

b) R = x ≥ y 2 4 y ≥ 2 x - 1

c)   ∫ 1 - √ 3 1 + √ 3 y + 1 2 - y 2 4   d y

d)   √ 3

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