Á r e a   d e   u m   p o l í g o n o   i r r e g u l a r

  1. Se γ é o segmento de reta ligando o ponto ( x 1 ,   y 1 ) ao ponto ( x 2 ,   y 2 ) , mostre que
  2. ∫ γ x d y - y d x = x 1 y 2 - x 2 y 1

  3. No sentido anti-horário, os vértices de um polígono são ( x 1 ,   y 1 ) ,   ( x 2 ,   y 2 ) ,   . . . ,   ( x N   ,   y N ) . Mostre que sua área é dada por:

A = 1 2 x 1 y 2 - x 2 y 1 + x 2 y 3 - x 3 y 2 - … + x N - 1 y N - x N y N - 1 + x N y 1 - x 1 y N  

Passo 1

Para demonstrar essa fórmula, podemos usar a propriedade de que a área de um polígono pode ser calculada usando a integral de linha.

Primeiro, considere o polígono definido pelos vértices ( x ₁ ,   y ₁ ) ,   ( x ₂ ,   y ₂ ) ,   . . . ,   ( x ₙ ,   y ₙ )   no sentido anti-horário.

A área A do polígono pode ser calculada como a integral de linha da expressão ½ ( x d y   -   y d x ) ao longo de sua fronteira.

A integral de linha representa a área "varrida" pelo vetor (x, y) enquanto percorre o contorno do polígono. Vamos dividir essa integral de linha em segmentos correspondentes aos lados do polígono:

A = ∫ C ½ ( x   d y   -   y   d x )   =   ½ ∫ C 1 ( x   d y   -   y   d x ) +   ½ ∫ C 2 ( x   d y   -   y   d x )   +   . . .   +   ½ ∫ C ₙ ( x   d y   -   y   d x )  

onde C ₁ ,   C ₂ ,   . . . ,   C ₙ são as curvas que representam os lados do polígono.

Passo 2

Agora, vamos calcular cada uma dessas integrais de linha:

∫ C ᵢ ( x   d y   -   y   d x )   =   ∫ C ᵢ x   d y   -   ∫ C ᵢ y   d x

Para calcular as integrais de linha acima, parametrizamos cada segmento de maneira apropriada. Vamos considerar o segmento de reta que liga os pontos ( x ᵢ ,   y ᵢ )   e   ( x ᵢ ₊ ₁ ,   y ᵢ ₊ ₁ ) .

A parametrização dessa reta pode ser dada como:

γ ( t )   =   ( x ( t ) ,   y ( t ) )   =   ( x ᵢ   +   ( x ᵢ ₊ ₁   -   x ᵢ ) t ,   y ᵢ   +   ( y ᵢ ₊ ₁   -   y ᵢ ) t ) .

Calculamos as diferenciais dx e dy em termos de dt:

d x   =   x ᵢ ₊ ₁   -   x ᵢ ,

d y   =   y ᵢ ₊ ₁   -   y ᵢ .

Substituindo essas expressões na integral de linha, obtemos:

∫ C ᵢ x   d y   - y   d x = ∫ 0 1 [ ( x ᵢ   +   ( x ᵢ ₊ ₁   -   x ᵢ ) t ) ( y ᵢ ₊ ₁   -   y ᵢ )   -   ( y ᵢ   +   ( y ᵢ ₊ ₁   -   y ᵢ ) t ) ( x ᵢ ₊ ₁   -   x ᵢ ) ] d t

                                                =   [ ( x ᵢ   +   x ᵢ ₊ ₁ ) ( y ᵢ ₊ ₁   -   y ᵢ )   -   ( y ᵢ   +   y ᵢ ₊ ₁ ) ( x ᵢ ₊ ₁   -   x ᵢ ) ]   ∫ 0 1 t   d t

                                                =   ( x ᵢ   +   x ᵢ ₊ ₁ ) ( y ᵢ ₊ ₁   -   y ᵢ )   -   ( y ᵢ   +   y ᵢ ₊ ₁ ) ( x ᵢ ₊ ₁   -   x ᵢ ) *   ½

  =   ½   x i y i + 1 + x i + 1 y i

Passo 3

Agora, somando todas as integrais de linha correspondentes aos lados do polígono, obtemos:

A   =   ½   ( x ₁   y ₂   -   x ₂   y ₁   +   x ₂   y ₃   -   x ₃   y ₂   +   …   +   x ₙ   y ₁   -   x ₁   y ₙ )

Isso pode ser reescrito como:

A   =   ½   [ ( x ₁   y ₂   -   x ₂   y ₁ )   +   ( x ₂   y ₃   -   x ₃   y ₂ )   +   . . .   +   ( x ₙ   y ₁   -   x ₁   y ₙ ) ] .

E finalmente, notamos que o último termo ( x ₙ   y ₁   -   x ₁   y ₙ ) é o mesmo que o primeiro termo ( x ₁   y ₂   -   x ₂   y ₁ ) , mas com sinais opostos devido à orientação anti-horária do polígono. Portanto, temos:

A   =   ½   [ ( x ₁   y ₂   -   x ₂   y ₁ )   +   ( x ₂   y ₃   -   x ₃   y ₂ )   +   . . .   +   ( x ₙ   y ₁   -   x ₁   y ₙ )   +   ( x ₁   y ₂   -   x ₂   y ₁ ) ]

    =   ½   [ ( x ₁   y ₂   -   x ₂   y ₁ )   +   ( x ₂   y ₃   -   x ₃   y ₂ )   +   . . .   +   ( x ₙ   y ₁   -   x ₁   y ₙ )   +   ( x ₁   y ₂   -   x ₂   y ₁ ) ]

Isso completa a demonstração da fórmula dada para a área do polígono.

Resposta

    =   ½   [ ( x ₁   y ₂   -   x ₂   y ₁ )   +   ( x ₂   y ₃   -   x ₃   y ₂ )   +   . . .   +   ( x ₙ   y ₁   -   x ₁   y ₙ )   +   ( x ₁   y ₂   -   x ₂   y ₁ ) ]

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