Deseja-se calcular a área sob o gráfico da função f x = x 4 - x 2 para 0 ≤ x ≤ 1 .

  1. Explique, por meio de um teorema, por que utilizamos uma primitiva da função para o cálculo da área sob seu gráfico.
  2. Utilize a substituição u = 4 - x 2 e reescreva a integral ∫ 0 1 f x d x apenas em termos da variável u .
  3. Utilize a substituição x = 2 s e n ( θ ) e reescreva a integral ∫ 0 1 f x d x apenas em termos da variável θ .
  4. Escolha um dos itens acima para determinar a área desejada.

Passo 1

Vamos começar entendendo o seguinte, quando queremos calcular a área abaixo de uma curva dada por uma função podemos pensar nessa figura aqui:

Pelo Teorema Fundamental do Cálculo, entramos o conceito da Primitiva F ( x ) de uma função f ( x ) , nós temos a relação:

F ' x = f ( x )

Logo, quando integramos a função f ( x ) dentro de um limite de integração, encontraremos a primitiva do maior valor menos a primitiva do menor valor de integração:

∫ a b f ( x ) = F b - F ( a )

Então essa diferença entre as primitivas aplicadas nos pontos máximo e mínimo define a área abaixo da função!

Passo 2

A letra “b” já é mais prática, ela nos pede para realizar a substituição:

u = 4 - x 2

E reescrever a integral ∫ 0 1 f x d x apenas em termos da variável u . Então, relembrando, nossa função f ( x ) é:

f x = x 4 - x 2

Então queremos achar a integral:

∫ 0 1 x 4 - x 2 d x

Se já sabemos quem é u , temos que encontrar d u :

u = 4 - x 2

Derivando os dois lados, ficamos com:

d u = - 2 x ⋅ d x

Então:

x ⋅ d x = - 1 2 d u  

Porque escolhemos fazer desse jeito? Porque temos x ⋅ d x dentro da integral!

Vamos colocar isso na nossa integral:

∫ 0 1 x 4 - x 2 d x = ∫ - 1 2 d u ⋅ 1 u

Um ponto que temos que dar muita importância são os limites de integração, já que estamos passando tudo de x para u , temos que recalcular os limites de integração:

u = 4 - x 2

Então, quando x = 0 :

u = 4 - 0 2 = 4 - 0 = 4

Enquanto, quando x = 1 :

u = 4 - 1 2 = 4 - 1 = 3

Então os novos limites são:

∫ 0 1 x 4 - x 2 d x = ∫ 4 3 - 1 2 d u ⋅ 1 u

Como temos um sinal dentro de subtração dentro da integral, podemos inverter os limites da integral:

∫ 0 1 x 4 - x 2 d x = ∫ 4 3 - 1 2 d u ⋅ 1 u = ∫ 3 4 1 2 d u ⋅ 1 u

Não precisa resolver, porque a questão só nos pediu para reescrever a integral!

Passo 3

A letra “c” nos pede outra substituição, dessa vez:

x = 2 s e n ( θ )

E vamos reescrever para ter apenas θ !

Nossa integral já é conhecida:

∫ 0 1 x 4 - x 2 d x

Vamos começar calculando quem é d x , derivando os dois lados de:

x = 2 s e n ( θ )

Encontramos:

d x = 2 cos ⁡ θ d θ

Então vamos substituir isso tudo na nossa integral:

∫ 0 1 x 4 - x 2 d x = ∫ 2 s e n θ ⋅ 2 cos ⁡ θ d θ 4 - 2 s e n θ 2

Vamos melhorar isso aqui:

∫ 2 s e n θ ⋅ 2 cos ⁡ θ d θ 4 - 2 s e n θ 2 = ∫ 4 s e n θ ⋅ cos ⁡ θ d θ 4 - 4 s e n 2 θ

Colocando o 4 em evidência:

∫ 2 s e n θ ⋅ 2 cos ⁡ θ d θ 4 - 2 s e n θ 2 = ∫ 4 s e n θ ⋅ cos ⁡ θ d θ 4 ⋅ ( 1 - s e n 2 θ ) = ∫ s e n θ ⋅ cos ⁡ θ d θ 1 - s e n 2 θ

Como sabemos da relação:

s e n 2 θ + cos 2 ⁡ ( θ ) = 1

Então:

cos 2 ⁡ ( θ ) = 1 - s e n 2 θ

Substituindo:

∫ 0 1 x 4 - x 2 d x = ∫ s e n θ ⋅ cos ⁡ θ d θ 1 - s e n 2 θ = ∫ s e n θ ⋅ cos ⁡ θ d θ cos 2 ⁡ θ = ∫ s e n θ d θ cos ⁡ θ = ∫ t a n θ d θ

Então a única coisa que falta fazer é definir os limites de integração:

x = 2 s e n ( θ )

Então para encontrar θ , temos que fazer:

θ = a c r s e n x 2

Quando x = 0 , então:

θ = a c r s e n 0 2 = 0

Quando x = 1 , então:

θ = a c r s e n 1 2 = π 6

Logo, nossa integral se torna:

∫ 0 1 x 4 - x 2 d x =   ∫ 0 π 6 t a n θ d θ

Terminamos nosso problema!

Passo 4

A letra “d” nos pede para escolher uma das duas integrais para resolver, nesse caso, eu acho mais fácil da gente resolver a letra “b”:

∫ 3 4 1 2 d u ⋅ 1 u

Vamos colocar a constante para fora da integral:

1 2 ∫ 3 4 1 u d u = 1 2 ln ⁡ u 4 3

Vamos finalizar:

1 2 ∫ 3 4 1 u d u = 1 2 ln ⁡ 4 - ln ⁡ 3

Acabou geral! Nos vemos no próximo exercício!

Resposta

  1. Demonstração
  2. ∫ 3 4 1 2 d u ⋅ 1 u

  3. ∫ 0 π 6 t a n θ d θ

1 2 ln ⁡ 4 - ln ⁡ 3

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