4 – Desenhe no plano cartesiano a região plana dada pelo conjunto dos pontos P x , y tais que 0 ≤ y ≤ 2 cos ⁡ x , com 0 ≤ x ≤ 4 π , e calcule sua área.

Passo 1

Fala aí! Tudo certinho? Esta questão está um pouco complicada? Relaxa que vamos tentar te ajudar. 😎

Nesse problema, temos que desenhar a região limitada por 0 ≤ y ≤ 2 cos ⁡ x e 0 ≤ x ≤ 4 π e também obter a área dessa região.

Tem ideia de como fazemos isso? 🤔

Para calcular a área da região abaixo de uma curva, podemos calcular a integral dessa curva.

Sabemos como é o gráfico de um cos ⁡ x , mas como deve ser o gráfico de um cos ⁡ x ?

Como estamos trabalhando em módulo e o cosseno tem partes onde y é negativo, o que podemos fazer é espelhar essa parte negativa para a lado positivo de y .

E também como x está variando de 0 a 4 π e o cosseno tem período de 2 π , então temos que ter dois períodos de cos ⁡ x de amplitude 2 com os valores em módulo. Ou seja

Consegue entender isso? 😉

Passo 2

Agora vamos calcular a área dessa região...

Não sabemos calcular a integral de cos ⁡ x , mas perceba que a região hachurada se repete 8 vezes. Como nesse pequeno intervalo a curva acima é dada apenas por 2 cos ⁡ x , então podemos calcular essa área e multiplicar por 8 .

Sacou?

Se analisarmos, podemos ver que essa região corresponde a 1 / 4 do período do cos ⁡ x , então x está variando de 0 a π / 2 .

A = ∫ 0 π 2 8 2 cos ⁡ x d x

A = 16 ∫ 0 π 2 cos ⁡ x d x

Pelo teorema fundamental do cálculo, a integral de cos ⁡ x é s e n x , então

∫ cos ⁡ x d x = s e n x + C

A = 16 ∫ 0 π 2 cos ⁡ x d x = 16 s e n π 2 - s e n 0

A = 16

Fim! Iae, o que achou? Responde Aí! 😁

Resposta

A = 16

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