Desenhe a região A e calcule sua área:

b )   A = { x , y ∈ R 2 : y ≥ x 2 - 1 ,   y ≤ x + 1   e   y ≥ - x 2 - 3 x - 2 }

Passo 1

Oi, tudo bem? Essa questão parece complicada, mas vou descomplicar para você! O problema deu essa região

A = { x , y ∈ R 2 : y ≥ x 2 - 1 ,   y ≤ x + 1   e   y ≥ - x 2 - 3 x - 2 }

E pediu para desenharmos a região e calcular a área!

Mas como resolver isso?

Precisamos fazer um esboço da região que pretendemos achar! Assim vamos verificar quais são os limites de integração e qual função está mais acima e mais abaixo, bem como dividir a região em várias caso precise! Vamos começar vendo uma função por uma:

y ≥ x 2 - 1 : a c i m a   d a   f u n ç ã o     y ≤ x + 1 : a b a i x o   d a   f u n ç ã o y ≥ - x 2 - 3 x - 2 : a c i m a   d a   f u n ç ã o

então saca só como fica nossa região:

A região hachurada é nossa região A! Podemos verificar que a reta laranja está sempre por cima e a parábola por baixo, entre x = - 1 e x = 2

Beleza?

Nossa missão é montar a integral, acertar os limites de integração e partiu integrar!

É isso! Bora lá?

Mas relaxa, vou fazer passo a passo com você!

Passo 2

Vamos começar montando nossa integral:

A = ∫ - 1 2 g x - f x d x

Beleza?

Agora vamos substituir as funções!

A = ∫ - 1 2 x + 1 - ( x 2 - 1 ) d x

Organizando um pouco temos

A = ∫ - 1 2 - x 2 + x + 2 d x  

Agora é só integrar!

Passo 3

Integrando temos

A = ∫ - 1 2 - x 2 + x + 2 d x

= - x 3 3 + x 2 2 + 2 x - 1 2

E por fim vamos aplicar nos limites!

- 8 3 + 4 2 + 4 - - - 1 3 3 + - 1 2 2 + 2 ( - 1 )

E simplificando temos

A = 1 - 1 2 = 1 2

Show! E é isso pessoal! Espero ter ajudado!

Resposta

1 2

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