Determine a área hachurada a seguir:

Passo 1

Essa questão já da a faca e o queijo pra gente. A faca seria a equação das curvas e o queijo, o desenho delas. Como a área hachurada está abaixo da curva 1 - 1 4 x 2 , a área vai ser:

A = ∫ a b 1 - 1 4 x 2   d x - D

Peraí, quem é esse D aí? Veja bem, se quiséssemos a área abaixo da curva toda, íamos ter no desenho

Mas como queremos:

Vamos ter que subtrair a área D :

Então bora lá achar quem falta: A área D e os limites de integração a , b

Passo 2

Se olharmos com carinho pro desenho, vemos que a área está delimitada, em valores de x , pelas raízes da curva. Pô, já que é assim, basta a gente achar as raízes e achamos os limites de integração. Partiu:

1 - 1 4 x 2 = 0

1 = 1 4 x 2

4 = x 2

x = ± 2

Sendo assim, os limites de integração vão ser:

a = - 2 b = 2

Quanto a área D , a gente poderia integrar, mas ficaria um pouco mais complicado. A sagacidade é ver que:

x 2 + y 2 = 1

Representa uma circunferência de raio 1 centrada na origem! Como a área D é metade da área da circunferência, temos:

D = π r 2 2 = π 2

Então já temos tudo pra calcular a área, que vai ser:

A = ∫ - 2 2 1 - 1 4 x 2   d x - π 2

Passo 3

Agora é só por a mão na massa. Fazendo a integral, vamos ter:

A = ∫ - 2 2 1 - 1 4 x 2   d x - π 2

A = x - x 3 12 x = - 2 x = 2 - π 2

A = 2 - 8 12 - - 2 + 8 12 - π 2

A = 2 - 2 3 + 2 - 2 3 - π 2

A = 12 - 4 3 - π 2 = 8 3 - π 2

Resposta

A = 8 3 - π 2

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