1) Determine a área da região em cinza.

a)

Passo 1

Faaaaala, galerinha! Tudo certinho com vocês? Bora lá resolver mais uma questão!!

Esse é um exercício clássico de cálculo de área, uma das aplicações mais importantes da integração de funções. E como o objetivo é o cálculo da área, podemos analisar o seguinte:

Quando realizamos a integração de uma função qualquer entre os pontos definidos a e b , encontramos a sua área.

Então, se integramos a curva y = 5 x - x 2 (que chamaremos de f ( x ) a partir de agora) entre os pontos 0 e 4 , obteremos a seguinte área hachurada:

Vamos chamar essa área de A 1 .

Da mesma forma, se integrarmos a curva y = x (que chamaremos de g ( x ) a partir de agora) entre os pontos 0 e 4 , obteremos a seguinte área hachurada:

Vamos chamar essa área de A 2 .

Como queremos encontrar a área pintada de cinza, com certeza você já percebeu que é só subtrair A 2 de A 1 .

Matematicamente, o que precisamos fazer então, é integrar a diferença entre f ( x ) e g ( x ) no intervalo de 0 a 4 :

∫ 0 4 f x - g x   d x

Passo 2

A partir de agora, vamos calcular a integral definida!

∫ 0 4 5 x - x 2 - x   d x

Podemos simplificar para:

∫ 0 4 - x 2 + 4 x   d x

Como há a soma dentro da integral:

∫ 0 4 - x 2   d x + ∫ 0 4 4 x   d x

E como temos constantes multiplicando as funções:

- 1 ∫ 0 4 x 2   d x + 4 ∫ 0 4 x   d x

E agora podemos integrar:

- 1 * x 3 3 + 4 * x 2 2 |   4   0  

Simplificando:

- x 3 3 + 2 x 2 |   4   0  

Passo 3

Como essa integral é definida, vamos aplicar o intervalo:

- 4 3 3 + 2 4 2 - - 0 3 3 + 2 0 2

Calculando:

- 64 3 + 2 * 16 - 0

- 64 3 + 32

- 64 3 + 96 3 = 32 3   u . a .

Ufa! Terminamos!

Pra essa questão é isso pessoal! Bora pra mais uma?

Resposta

32 3   u . a .

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