1) Determine a área da região em cinza.

b)

Passo 1

Faaaaala, galerinha! Tudo certinho com vocês? Bora lá resolver mais uma questão!!

Esse é um exercício clássico de cálculo de área, uma das aplicações mais importantes da integração de funções. E como o objetivo é o cálculo da área, podemos analisar o seguinte:

Antes de tudo, você já deve ter reparado que as funções estão em x , ou seja, a variação de y é quem define x . É o contrário do que estamos normalmente acostumados. Legal, mas o que isso muda no nosso exercício?

O que muda é que realizaremos as integrais de y ao invés de x . É como se estivéssemos olhando o gráfico dessa maneira:

A partir de agora, podemos voltar para o conceito normal de área por integral:

Quando realizamos a integração de uma função qualquer entre os pontos definidos a e b , encontramos a sua área.

Então, se integramos a curva x = y 2 - 4 y (que chamaremos de f ( y ) a partir de agora) entre os pontos 0 e 3 , obteremos a seguinte área hachurada:

Vamos chamar essa área de A 1 .

Da mesma forma, se integrarmos a curva x = 2 y - y 2 (que chamaremos de g ( y ) a partir de agora) entre os pontos 0 e 3 , obteremos a seguinte área hachurada:

Vamos chamar essa área de A 2 .

Como queremos encontrar a área pintada de cinza, com certeza você já percebeu que é só subtrair A 2 de A 1 .

Matematicamente, o que precisamos fazer então, é integrar a diferença entre f ( y ) e g ( y ) no intervalo de 0 a 3 :

∫ 0 3 f y - g y   d y

Passo 2

A partir de agora, vamos calcular a integral definida!

∫ 0 3 y 2 - 4 y - ( 2 y - y 2 )   d y

Podemos simplificar para:

∫ 0 3 2 y 2 - 2 y   d y

Como há a subtração dentro da integral:

∫ 0 3 2 y 2   d y - ∫ 0 3 2 y   d y

E como temos constantes multiplicando as funções:

2 ∫ 0 3 y 2   d y - 2 ∫ 0 3 y   d y

E agora podemos integrar:

2 * y 3 3 - 2 * y 2 2 |   3   0  

Simplificando:

2 y 3 3 - y 2 |   3   0  

Passo 3

Como essa integral é definida, vamos aplicar o intervalo:

2 3 3 3 - 3 2 - 2 0 3 3 - 0 2

Calculando:

2 * 27 3 - 9 - 0

54 3 - 9

54 3 - 27 3 = 27 3 = 9   u . a .

Ufa! Terminamos!

Pra essa questão é isso pessoal! Bora pra mais uma?

Resposta

9   u . a .

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