3) Determine a área da região delimitada por:

y = cos ⁡ x

y = sin ⁡ x

x = 0

x = π 2

Passo 1

Bora lá então. A primeira coisa que temos que notar é que existem duas funções de x que delimitam esse área, então tamos num exercício de área entre curvas.

y = f x = cos ⁡ x

y = f x = sin ⁡ x

Em exercícios assim é bom a gente se ligar em duas coisas:

  • Qual curva tá por cima e qual tá por baixo
  • Quando cada curva está abaixo do eixo x

Então bora lá. Pra começar, como são funções trigonométricas, vamos olhar o círculo trigonométrico:

Vamos olhar o círculo só para valores de arco entre 0 e π 2 , beleza? Afinal, as retas:

x = 0

x = π 2

Também delimitam a região. Show de bola. Perceba que o s i n aumenta conforme o arco aumenta e o c o s diminui conforme o arco aumenta até chegar em π 2 . Oras, então vai ter algum momento em que as curvas vão se cruzar. Bora achar quando:

sin ⁡ x = cos ⁡ x

tg ⁡ x = 1

x = π 4

Se em x = π 4 as curvas se cruzam, então nesse ponto sin ⁡ x passa a ficar por cima de cos ⁡ x ! Um esboço do gráfico das curvas seria:

E como a questão pede a área delimitada pelas duas curvas e as retas x = 0 e x = π 2 , então a área a ser calculada vai ser:

Vamos calcular a área de cada uma das cores e depois somar agora.

Passo 2

Começando pela área cinza, veja bem. A gente pode entender ela como a subtração da área azul menos a área amarela:

A área azul nada mais é do que a integral de cos ⁡ x e a área amarela que a integral de sin ⁡ x viu? Isso pros mesmos dois limites de integração. Vamos ter então pra azul:

A z u l =   ∫ 0 π 4 cos ⁡ x d x = sin ⁡ x x = 0 x = π 4

A z u l = sin ⁡ π 4 - sin ⁡ 0 = 2 2

E pra área amarela:

A m a r e l o = ∫ 0 π 4 sin ⁡ x   d x = - cos ⁡ x x = 0 x = π 4

A m a r e l o = - cos ⁡ π 4 + cos ⁡ 0 =   - 2 2 + 1

E logo:

C i n z a = A z u l - A m a r e l o

C i n z a = 2 2 - - 2 2 + 1

C i n z a = 2 - 1

Passo 3

Agora pra gente ver a área da região laranja, podemos usar a mesma ideia em! Vamos ter que a área laranja é a área roxa menos a área rosa:

Como a área roxa está abaixo da curva de sin ⁡ x , vamos ter:

R o x o = ∫ π 4 π 2 sin ⁡ x   d x = - cos ⁡ x x = π 4 x = π 2  

R o x o = - cos ⁡ π 2 + cos ⁡ π 4 = 2 2  

E pra área rosa agora:

R o s a = ∫ π 4 π 2 cos ⁡ x d x = sin ⁡ x x = π 4 x = π 2  

R o s a = sin ⁡ π 2 - sin ⁡ π 4 = 1 - 2 2

Considerando a área laranja como um todo, temos:

L a r a n j a = R o x o - R o s a

L a r a n j a = 2 2 - 1 - 2 2

L a r a n j a = 2 - 1

Passo 4

E pra fechar com chave de ouro é spo juntar a área das curvas laranja e cinza que juntos são exatamente a área delimitada por todas as curvas. Vamos ter:

A = C i n z a + L a r a n j a

A =   2 - 1 + 2 - 1

A =   2 2 - 2

Se a gente olhar bem pro esboço da até pra ver que a região é simétrica em relação à x = π 4 . E daí? Bem, isso pouparia algumas contas mas não mostraria o cálculo em ação haha

Resposta

A =   2 2 - 2

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Use um gráfico para dar uma estimativa grosseira da área da região que fica abaixo da curva dada. A seguir, ache a área exata y = sin ⁡ x ,     0 ≤ x ≤ π
Use um gráfico para dar uma estimativa grosseira da área da região que fica abaixo da curva dada. A seguir, ache a área exata y = x - 4 ,     1 ≤ x ≤ 6