Exercícios Resolvidos de Área entre Curvas

  1. Determine a área da região delimitada pelas curvas y = x e y = x 2 - 3 x

Passo 1

Pow, nesse tipo de exercício, ajuda muito se antes a gente entender quem é a região, e como essas duas curvas se relaciona.

Bem, podemos identificar que a primeira curva é aquela reta passando pela origem

Quanto a curva y = x 2 - 3 x é uma parábola que passa pela origem e o ponto 3 quando y se anula

A junção dessas duas curvas terá a região amarela

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Bem, acabamos de ver a interação das duas curvas no desenho formando a região que queremos a área.

Mas como podemos descobrir quem são aqueles pontos que as duas se encontram?

Pra responder essa pergunta, olharemos para a interação dessas duas curvas, mas agora uma interação matemática, ou seja

y = x y = x 2 - 3 x

resolver esse sistema com as duas curvas!

Substituindo o y de cima na de baixo

x = x 2 - 3 x   →

x 2 - 3 x - x = 0 →

x 2 - 4 x = 0

colocando o x em evidência...

x x - 4 = 0

logo, ou x = 0 ou

x - 4 = 0         →               x = 4

Logo, os dois pontos são como poderíamos imaginar pelo gráfico o 0 e o 4

Passo 3

Bem, agora que a gente conhece bem a região que estamos trabalhando, podemos calcular a área, lembrando-se da fórmula:

Á r e a = ∫ a b f x - g ( x ) d x

Onde esses termos a e b aí é o limite mínimo e máximo de x que no nosso caso acabamos de ver que é 0 e 4

Á r e a = ∫ 0 4 f x - g ( x ) d x

Lembrando que pela teoria a f x é a função que está por cima e a g x , a que está por baixo, ou seja

f x = y = x

g x = y = x 2 - 3 x

portanto

Á r e a = ∫ 0 4 x - x 2 - 3 x d x =

∫ 0 4 4 x - x 2 d x

Passo 4

Agora é só calcular essa integral aí e correr para o abraço

∫ 0 4 4 x - x 2 d x

Integrando esse polinômio

∫ 0 4 4 x - x 2 d x = 4 x 2 2 - x 3 3 0 4

Substituindo esses limites...

∫ 0 4 4 x - x 2 d x = 4 ∙ 4 2 2 - 4 3 3 + 4 ∙ 0 2 2 - 0 3 3 =

2 ∙ 4 2 - 64 3 =

32 - 64 3 = 32 3

Resposta

32 3

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