Exercícios Resolvidos de Área entre Curvas

Determine a área da região limitada pelas curvas y = x ³ - 12 x ² + 35 x e y = x ² - 5 x

Passo 1

A primeira coisa que a gente tem que notar é que se a questão ta pedindo área delimitada pelas curvas, é porque elas se cruzam. O truque vai ser saber em qual ponto! Pra isso, vamos precisar igualar esses dosi caras aí. Vamos ter:

x ³ - 12 x ² + 35 x = x ² - 5 x

x ³ - 13 x ² + 40 x = 0

Colocando x em evidência:

x x ² - 13 x + 40 = 0

Opa, então x = 0 é um ponto em que as curvas se cruzam. Ok, mas não é o único, porque podemos ter também:

x ² - 13 x + 40 = 0

Como nesse caso temos um polinômio de segundo grau, vale usar Bháskara! Seja:

x ² - 13 x + 40 = a x ² + b x + c

As raízes do polinômio vão ser:

x 1,2 = - b ± b ² - 4 a c 2 a

x 1,2 = 13 ± 169 - 160 2 = 13 ± 9 2 = 13 ± 3 2

x 1,2 = 13 + 3 2 = 16 2 = 8 13 - 3 2 = 10 2 = 5

Então o polinômio pode ser escrito como:

x ² - 13 x + 40 = x - 5 x - 8 = 0

O que quer dizer nada mais nada menos que:

x = 5

x = 8

São outros dois pontos onde as curvas se encontram.

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Uma coisa que precisamos também saber são as raízes das próprias curvas! Afinal, como vamos usar integrais pra calcular a área, temos que saber quando a curva está abaixo do eixo x pra não calcular áreas negativas sem querer! Pra primeira curva:

y 1 = x ³ - 12 x ² + 35 x = 0

Colocando x em evidência de novo:

x x ² - 12 x + 35 = 0

E sendo:

x ² - 12 x + 35 = a x ² + b x + c

As raízes vão ser:

x 1,2 = 12 ± 144 - 140 2 = 12 ± 4 2 = 12 ± 2 2

x 1,2 = 12 + 2 2 = 14 2 = 7 12 - 2 2 = 10 2 = 5

Reescrevemos y 1 como:

y 1 = x x - 7 x - 5 = 0

As raízes vão ser então:

x 1,2 , 3 = 0 7 5

Pra segunda curva, vamos ter:

y 2 = x ² - 5 x = 0

E se colocarmos o x em evidência, vemos já as raízes:

y 2 = x x - 5 = 0

x 1,2 = 0 5

Passo 3

Show, vamos ver todos os pontos interessantes que achamos:

x = 0

x = 5

x = 7

x = 8

Esses pontos são raízes e pontos em que as curvas se encontram. Bora analisar o que acontece com as curvas nos intervalos que envolvem esses pontos. São eles:

0 ≤ x ≤ 5

5 ≤ x ≤ 7

7 ≤ x ≤ 8

Vamos ver o primeiro intervalo então. Olha o que acontece se, nas curvas, escolhermos x = 1 , um ponto desse intervalo:

y 1 = x ³ - 12 x ² + 35 x = 1 - 12 + 35 = 24 > 0

y 2 = x ² - 5 x = 1 - 5 = - 4 < 0

Opa, então não só a curva y 1 está por cima da curva y 2 como y 2 está abaixo do eixo x . Pra esse intervalo então, a área vai ser:

A = ∫ 0 5 y 1 d x +   - ∫ 0 5 y 2 d x

Lembrando que o sinal de negativo tá aí pra gente não calcular áreas negativas! Olhando agora pro segundo intervalo, escolhendo x = 6 , por exemplo, temos:

y 1 = x ³ - 12 x ² + 35 x = 216 - 432 + 210 = - 6 < 0

y 2 = x ² - 5 x = 36 - 30 = 6 > 0

Opa, agora invertemos! y 2 está por cima de y 1 e y 1 abaixo do eixo x . A área vai ser então:

B = ∫ 5 7 y 2 d x +   - ∫ 5 7 y 1 d x

E pré fecharmos, vamos ver o último intervalo. Escolhendo x = 7,5 por exemplo, temos:

y 1 7,5 = 9,38 > 0

y 2 7,5 = 18,75 > 0

Dessa vez temos as duas curvas acima do eixo x ! Então a área vai ser a área da curva que está por cima, nesse caso y 2 , menos a área da curva que está por baixo, nesse caso y 1 :

C = ∫ 7 8 y 2 d x   - ∫ 7 8 y 1 d x

Passo 4

Agora é só calcular a área e partir pro abraço. A área total vai ser:

A t o t a l = A + B + C

Substituindo, temos:

A t o t a l = ∫ 0 5 y 1 d x -   ∫ 0 5 y 2 d x + ∫ 5 7 y 2 d x   - ∫ 5 7 y 1 d x + ∫ 7 8 y 2 d x   - ∫ 7 8 y 1 d x

A t o t a l = ∫ 0 5 y 1 d x - ∫ 5 7 y 1 d x   - ∫ 7 8 y 1 d x +   ∫ 5 7 y 2 d x + ∫ 7 8 y 2 d x -   ∫ 0 5 y 2 d x

Das propriedades das integrais, simplificamos:

A t o t a l = ∫ 0 5 y 1 d x - ∫ 5 8 y 1 d x +   ∫ 5 8 y 2 d x -   ∫ 0 5 y 2 d x

Sendo a integral indefinida:

∫ y 1   x d x =   F 1 x

∫ y 2   x d x =   F 2 x

Temos:

A t o t a l = F 1 5 - F 1 0 - F 1 8 + F 1 5 +   F 2 8 - F 2 5 - F 2 5 + F 2 0

A t o t a l = 2 F 1 5 - F 1 0 - F 1 8 +   F 2 8 - 2 F 2 5 + F 2 0

Calculando as integrais indefinidas

∫ y 1   x d x =   ∫ x ³ - 12 x ² + 35 x   d x = x 4 4 - 4 x ³ + 35 x 2 2 = F 1 x

∫ y 2   x d x = ∫ x ² - 5 x   d x = x 3 3 - 5 x 2 2 =   F 2 x

Vamos ter que:

F 1 0 = F 2 0 = 0

E logo:

A t o t a l = 2 F 1 5 - F 1 8 +   F 2 8 - 2 F 2 5

Calculamos:

F 1 5 = 5 4 4 - 4.5 ³ + 35 . 5 2 2 = 375 4

F 1 8 = 8 4 4 - 4.8 ³ + 35 . 8 2 2 = 384 4

F 2 5 = 5 3 3 - 5 . 5 2 2 = - 125 6

F 2 8 = 8 3 3 - 5 . 8 2 2 = 64 6

A área total vai ficar:

A t o t a l = 750 - 384 4 +   64 + 250 6

A t o t a l = 366 4 +   314 6

A t o t a l = 3452 24 = 863 6

Resposta

A t o t a l = 863 6

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