Determine a área da região limitada pelas curvas dadas em cada caso:

a) y = x 2 - 5 x - 70 , y = x - 12 , x = - 2 e x = 5

Passo 1

Fala, galera! Vamos resolver essa questão!

O enunciado pediu pra gente encontrar o valor da área na região limitada pela parábola ) y = x 2 - 5 x - 70 , a reta y = x - 12 e as retas verticais x = - 2 e x = 5 . Nossa região fica assim:

Por definição, a área limitadas pelas curvas y = f ( x ) e y = g ( x ) e pelas retas x = a e x = b , onde f e g são funções contínuas e f x ≥ g ( x ) para todo x no intervalo [ a ,   b ] , é dada por:

A = ∫ a b f x - g x d x

Aqui f ( x ) é a função que limita superiormente nossa região, no nosso caso, quem tá por cima é a função f x = x - 12 . E como g ( x ) limita a região inferiormente, temos g x = x 2 - 5 x - 70 . Nosso intervalo de integração [ a ,   b ] é definido pelas retas x = - 2 e x = 5 . Então, para determinar a área, nós só vamos precisar calcular a integral:

A = ∫ - 2 5 [ x - 12 - ( x 2 - 5 x - 70 ) ] d x

Vamos lá!

Passo 2

Vamos arrumar nossa integral:

A = ∫ - 2 5 [ x - 12 - ( x 2 - 5 x - 70 ) ] d x

A = ∫ - 2 5 [ x - 12 - x 2 + 5 x + 70 ] d x

Somando os termos semelhantes:

A = ∫ - 2 5 [ - x 2 + 6 x + 58 ] d x

Como a integral da soma é igual a soma das integrais, podemos escrever:

A = ∫ - 2 5 - x 2 d x + ∫ - 2 5 6 x d x + ∫ - 2 5 58 d x

Agora podemos calcular cada integral usando a regrinha da potência ( ∫ x n = x n + 1 n + 1 ):

A = - x 2 + 1 2 + 1 - 2 5 + 6 x 1 + 1 1 + 1 - 2 5 + 58 x 0 + 1 0 + 1 - 2 5

A = - x 3 3 - 2 5 + 6 x 2 2 - 2 5 + 58 x - 2 5

Aplicando os limites de integração, temos:

A = - 5 3 3 + 3 5 2 + 58 5 - - - 2 3 3 + 3 - 2 + 58 - 2

A = 133 3 - 64 + 406

E temos nossa área:

A = 1274 3

Prontinho, galera! Até a próxima! 😉

Resposta

A = 1274 3

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