Determine a área da região limitada pelas curvas dadas em cada caso:

b) y = 8 x 2 , y = 8 x e y = x

Passo 1

Fala, galera! Vamos resolver essa questão!

O enunciado pediu pra gente encontrar o valor da área na região limitada pela curva y = 8 x 2 e pelas retas y = 8 x e y = x . Nossa região fica assim:

Como temos três curvas, vamos dividir nossa área em duas partes. Primeiro, vamos encontrar a interseção entre a y = 8 x 2 e y = 8 x e calcular a integral dupla na região que vamos chamar de D 1 . Em seguida, vamos encontrar a interseção entre y = 8 x 2 e y = x , pra calcular a integral dupla na região que vamos chamar de D 2 . Então, nossa área é calculada na forma:

A = ∬ D 1 d y d x + ∬ D 2 d y d x

Vamos lá!

Passo 2

Vamos começar encontrando a interseção entre y = 8 x 2 e y = 8 x :

8 x 2 = 8 x

x 3 = 1 → x = 1

Então, temos o ponto de interseção ( 1 ,   8 ) e a região D 1 dada por:

0 ≤ x ≤ 1

x ≤ y ≤ 8 x

Agora na interseção entre as curvas y = 8 x 2 e y = x , temos:

8 x 2 = x

x 3 = 8 → x = 8 3

x = 2

E temos o ponto de interseção ( 2 ,   2 ) e a região D 2 dada por:

0 ≤ x ≤ 2

x ≤ y ≤ 8 x 2

Passo 3

Vamos montar nossa integral então:

A = ∬ D 1 d y d x + ∬ D 2 d y d x

A = ∫ 0 1 ∫ x 8 x d y d x + ∫ 1 2 ∫ x 8 x 2 d y d x

Calculando a integral em relação a y , temos:

A = ∫ 0 1 y x 8 x d x + ∫ 1 2 y x 8 / x 2 d x

Agora vamos aplicar os limites de integração:

A = ∫ 0 1 8 x - x d x + ∫ 1 2 8 x 2 - x d x

A = ∫ 0 1 7 x d x + ∫ 1 2 8 x 2 - x d x

Agora vamos integrar em relação a x :

A = 7 x 2 2 0 1 + - 8 x - x 2 2 1 2

Aplicando os limites de integração, temos:

A = 7 2 + 5 2

A = 12 2

A = 6  

Prontinho, galera! Até a próxima! 😉

Resposta

A = 6  

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