Determine a área da região limitada pelas curvas dadas em cada caso:

d) y = x 2 , y = x - 2 2 e y = 0

Passo 1

Fala, galera! Vamos resolver essa questão!

O enunciado pediu pra gente encontrar o valor da área na região limitada entre as parábolas y = x 2 e y = x - 2 2 e o eixo y = 0 . Nossa região, então, é essa em amarelo:

Repare que de 0 até 1 , nós temos y = x 2 limitando nossa região superiormente. De 1 até 2 , nós temos y = x - 2 2 limitando a região superiormente, e y = 0 limitando a região inferiormente nos dois casos. Então, nossa área pode ser dividida nessas duas partes, de modo que a gente consiga resolver a integral:

A = ∫ 0 1 x 2 - 0 d x + ∫ 1 2 x - 2 2 - 0   d x

Então, vamos lá calcular a área através da integral.

Passo 2

Arrumando um pouquinho as integrais, vamos ter:

A = ∫ 0 1 x 2   d x + ∫ 1 2 x - 2 2   d x

A = ∫ 0 1 x 2   d x + ∫ 1 2 x 2 - 4 x + 4   d x

Integrando em relação a x , temos:

A = x 3 3 0 1 + x 3 3 - 4 x 2 2 + 4 x 1 2

Aplicando os limites de integração:

A = 1 3 - 0 + 8 3 - 8 + 8 - 1 3 - 2 + 4

A = 1 3 + 8 3 - 1 3 - 2

A = 2 3

Prontinho, galera! Até a próxima! 😉

Resposta

A = 2 3

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