1 - Determine a área da região limitada pelas curvas dadas em cada caso

c) y = y 2 - 1 e x = y 2 - 1 8 y 4 + 1

Passo 1

Iae, meus queridos! Está com dificuldades nessa questão? Não se preocupe! Estamos aqui para ajudar 😉

Nesse problema queremos obter a área determinada pela região limitada pelas curvas y = y 2 - 1 e x = y 2 - 1 8 y 4 + 1 .

E aí, tem ideia de como fazemos isso? 🤔

Para obter a área entre duas curvas, podemos usar o método de integral dupla, ou seja

A = ∬ 1 d S

E nosso trabalho é conseguir descrever a região S para definir os limites de integração.

Sacou? Bora começar!

Passo 2

Vamos começar definindo visualmente a região S . Plotando as curvas das equações dadas temos

y = y 2 - 1

y 2 - y - 1 = 0 → y 1 = 1,62 y 2 = - 0,62

Essa parte não ficou muito clara na questão, mas considerando que a região S é definida para x ≥ 0 , temos

Assim, podemos definir os limites de integração de y como y i = - 0,62 e y f = 1,62 . Já em x , podemos definir os limites de integração como x i = 0 e x f = y 2 - 1 8 y 4 + 1

Tranquilo até aqui? 😎

Passo 3

Dessa maneira, montando nossa integral de área A , temos

A = ∫ y i y f ∫ x i x f 1 d x d y

A = ∫ - 0,62 1,62 ∫ 0 y 2 - 1 8 y 4 + 1 1 d x d y

Integrando 1 com relação a x , temos

∫ 1 d x = x

Aplicando os limites de integração

∫ 0 y 2 - 1 8 y 4 + 1 1 d x = y 2 - 1 8 y 4 + 1

Agora integrando o resultado com relação a y

∫ y 2 - 1 8 y 4 + 1 d y = y 3 3 - 1 8 y 5 5 + y

Aplicando os limites de integração...

A = ∫ - 0,62 1,62 y 2 - 1 8 y 4 + 1 d y = 1,62 3 3 - 1 8 1,62 5 5 + 1,62 - - 0,62 3 3 - 1 8 - 0,62 5 5 + - 0,62

A = 1,41 - 1 8 2,22 + 1,62 - - 0,08 - 1 8 - 0,02 - 0,62

A = 2,75 - - 0,7

A = 3,45

É isso, espero ter ajudado! Entendeu tudo? Responde Aí! 😎👍

Resposta

A = 3,45

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