Determine a área da região plana delimitada pela curva y = x 3 - x e por sua reta tangente no ponto de abscissa x = - 1

Passo 1

Oi, tudo bem? Essa questão parece complicada, mas vou descomplicar para você! O problema quer que a gente ache a área delimitada pela curva

y = x 3 - x

E pela reta tangente a essa curva no ponto x = - 1

Então antes de mais nada precisamos achar essa reta tangente! E depois? Depois é só esboçar a região, montar a integral e partiu resolver!

É isso! Bora lá?

Mas relaxa, vou fazer passo a passo com você!

Passo 2

Vamos começar achando a reta tangente

y = x 3 - x

y ' = 3 x 2 - 1

E no ponto x = - 1

y ' - 1 = 3 - 1 2 - 1 = 3 - 1 = 2

Beleza?

Agora nossa reta tangente é

y - y 0 = y ' ( x 0 ) ( x - x 0 )

Temos que y ' x 0 = 2 e x 0 = - 1 , aí y 0 é

y 0 = - 1 3 - - 1 = - 1 + 1 = 0

Agora é só jogar na equação da reta

y - 0 = 2 x - - 1

y = 2 x + 2

Passo 3

A região que queremos envolve a curva

y = x 3 - x

E a reta

y = 2 x + 2

Fazendo um esboço dessas curvas temos o seguinte

Sendo assim a integral que calcula essa área é

∫ - 1 2 2 x + 2 - x 3 - x d x = ∫ - 1 2 3 x - x 3 + 2   d x

Passo 4

Agora e só resolver e aplicar nos limites de integração!

∫ - 1 2 3 x - x 3 + 2   d x = 3 x 2 2 - x 4 4 + 2 x - 1 2

Aplicando os limites

3.4 2 - 2 4 4 + 2.2 - 3 2 - 1 4 - 2

= 6 - 4 + 4 - 6 4 + 1 4 + 2

= 8 - 5 4 = 27 4

Beleza?

Show! E é isso pessoal! Espero ter ajudado!

Resposta

27 4

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