Determine a área da superfície:

  1. A parte do plano x + 2 y + 3 z = 1 que está dentro do cilindro x 2 + y 2 = 3

Passo 1

Fala aí galera, bora resolver o nosso exercício?

Para calcularmos a nossa área, vamos usar a fórmula:

A S = ∬ D d g d u × d g d v d u d v

Aonde g vai ser a nossa função plano parametrizada. Show? Vamos lá

Passo 2

Vamos começar parametrizando a nossa função:

x + 2 y + 3 z = 1 → z = 1 - x - 2 y 3

Logo a nossa função:

g x , y = x , y , 1 - x - 2 y 3

Com a função parametrizada, podemos calcular as derivadas:

d g d x = 1,0 , - 1 3

d g d y = 0 , 1 , - 2 3

Passo 3

Com as nossas derivadas calculadas, podemos calcular a norma:

N x , y = d g d x × d g d y

N x , y = 1,0 , - 1 3 × 0,1 , - 2 3

N x , y = i j k 1 0 - 1 3 0 1 - 2 3 = 1 3 , 2 3 1

Aplicando a norma:

N x , y = 1 9 + 4 9 + 1 = 14 9

Jogando na nossa fórmula:

A S = ∬ D d g d u × d g d v d u d v = ∬ D 14 9 d x d y

Passo 4

Show, agora que já temos a nossa região, vamos calcular dentro do cilindro:

x 2 + y 2 = 3

∬ D 14 9 d x d y = 14 9 ∬ D d x d y

Para nossa alegria galera, vamos poder usar:

∬ D d x d y = Á r e a   d a   r e g i ã o   D

Então:

14 9 ∬ D d x d y = 14 9 π 3 2 = 3 π 14 9

Resposta

3 π 14 9

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