Determine o centróide da região limitada por:

( a )   y = 4 - x 2 ,   y = 0 ; − 2   ≤   x   ≤   2

Passo 1

Eaew, tudo certinho?

Nós temos que determinar o centróide da região delimitada pelas curvas

y = 4 - x 2 e   y = 0 ; − 2   ≤   x   ≤   2

esta é uma região arbitrária, que pode ser visualizada como

o centróide aqui será indicado com um ponto com duas coordenadas (estamos em uma região bidimensional), estas coordenadas são calculadas usando

x ̄ = ∫ A x ~ d A ∫ A d A e y ̄ = ∫ A y ~ d A ∫ A d A

Ou seja, nós temos duas integrais para resolver, isso será feito mudando o infinitesimal de área d A que escolhemos! Saca só!

Passo 2

Para integrarmos primeiro em x , vamos escolher um retângulo infinitesimal de área com largura d x , sendo ele paralelo ao eixo y e de altura y = 4 - x 2 .

Note que este infinitesimal de área é dado como a área do retângulo de altura h = 4 - x 2 , ou seja, temos que

d A = ( 4 - x 2 ) d x

de forma que a integral de área é dada por

∫ - 2 2 ( 4 - x 2 ) d x = ∫ - 2 2 4   d x - ∫ - 1 2 x 2 d x

note que os limites de integração são dados pelo ponto em x em que as curvas se interceptam! Usando a regra da potência para integrais, temos que

∫ A d A = 4 ( x ) | - 2 2 - x 3 3 | - 2 2 = 16 - 2 8 3 = 32 3

Eu calculei essa área primeiro pois será utilizada em ambas as coordenadas, você pode calcular ela integrando com um infinitesimal em y da mesma forma! Agora, vamos calcular as coordenadas!

Passo 3

Para calcular a coordenada x ̄ temos que calcular a seguinte relação

x ̄ = ∫ A x ~ d A ∫ A d A = 3 32 ∫ A x ~   d A

o x ~ é apenas para diferenciar todos os " x " que aparecem dentro da integral. Podemos igualmente escrever a expressão como

x ̄ = 3 32 ∫ A x   d A = 3 32 ∫ - 2 2 x ( 4 - x 2 )   d x

obtendo então a integral

x ̄ = 3 32 4 ∫ - 2 2 x   d x - 3 32 ∫ - 2 2 x 3   d x

resolvendo a integral, temos que

x ̄ = 12 32 ( x 2 2 ) | - 2 2 - 3 32 ( x 4 4 ) | - 2 2 = 0

Maravilha! Temos a primeira coordenada, vamos fazer um processo parecido para a segunda coordenada agora!

Passo 4

Para integrar em y precisamos visualizar outro infinitesimal,

Podemos escolher retângulos infinitesimais paralelos ao eixo x e integrar de 0 ≤   y ≤   4 . Vamos considerar a altura desses retângulos x = y + 4 , pois por simetria y ̄ será o mesmo para os dois lados do eixo y.

y ̄ = 3 32 ∫ 0 4 y ( y + 4 )   d y

resolvendo as integrais, por substituição simples, temos que

y ̄ = 3 32 ∫ y = 0 4 ( u - 4 ) ( u )   1 2 d u = 3 32 ∫ y = 0 4 ( u 3 2 - 4 u   1 2 ) d u = 3 32 ( ( y + 4 ) 5 / 2 5 / 2 ) 0 4 - 12 32 ( ( y + 4 ) 3 / 2 3 / 2 ) 0 4

y ̄ = 6 32 ( ( 8 ) 5 / 2 5 - ( 4 ) 5 / 2 5 ) - 24 32 ( ( 8 ) 3 / 2 3 - ( 4 ) 3 / 2 3 )

ou simplesmente

y ̄ = 8 5

A coordenada do centróide é então dada por

C = ( 0 , 8 5 )

A questão foi isso! Te vejo na próxima! Tchau Tchau!

Resposta

C = ( 0 , 8 5 )

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