Determine o centróide da região limitada por:

( h )   y = x ;   y =   1 x ;   y = 0 , x = 2

Passo 1

Eaew, tudo certinho?

Nós temos que determinar o centróide da região delimitada pelas curvas

y = x ,   y = 1 / x , y = 0 e x = 2

esta é uma região arbitrária, que pode ser visualizada como

o centróide aqui será indicado com um ponto com duas coordenadas (estamos em uma região bidimensional), estas coordenadas são calculadas usando

x ̄ = ∫ A x ~ d A ∫ A d A e y ̄ = ∫ A y ~ d A ∫ A d A

Ou seja, nós temos duas integrais para resolver, isso será feito mudando o infinitesimal de área d A que escolhemos! Saca só!

Passo 2

Para integrarmos primeiro em x , vamos escolher um infinitesimal de área com largura d x como indicado

Temos que calcular individualmente as integrais para a região à esquerda de x = 1 e a direita de x = 1 pois o infinitesimal de área muda para cada um deles! Temos que

d A e s q u e r d o = x   d x e d A d i r e i t o = 1 x d x

de forma que a integral de área é dada por

∫ A e s q u e r d o d A e s q u e r d o + ∫ A d i r e i t o d A d i r e i t o = ∫ 0 1 x d x + ∫ 1 2 1 x d x

usando as integrais conhecidas, temos que

∫ A d A = x 2 2 | 0 1 + l n ( x ) | 1 2 = 1 2 + l n ( 2 )

ou simplesmente

∫ A d A = 1 2 ( 1 + 2 l n ( 2 ) )

Eu calculei essa área primeiro pois será utilizada em ambas as coordenadas, você pode calcular ela integrando com um infinitesimal em y da mesma forma! Agora, vamos calcular as coordenadas!

Passo 3

Para calcular a coordenada x ̄ temos que calcular a seguinte relação

x ̄ = ∫ A x ~ d A ∫ A d A = 2 1 + 2   l n ( 2 ) ∫ A x ~   d A

o x ~ é apenas para diferenciar todos os " x " que aparecem dentro da integral. Podemos igualmente escrever a expressão como

x ̄ = 2 1 + 2   l n ( 2 ) ∫ A x   d A = 2 1 + 2   l n ( 2 ) ∫ 0 1 x ( x )   d x + 2 1 + 2   l n ( 2 ) ∫ 1 2 x ( 1 x ) d x

obtendo então a integral

x ̄ = 2 1 + 2   l n ( 2 ) ∫ 0 1 x 2   d x + 2 1 + 2   l n ( 2 ) ∫ 1 2 d x

que podem ser resolvidas diretamente, obtendo

x ̄ = 2 1 + 2   l n ( 2 ) x 3 3 | 0 1 + 2 1 + 2   l n ( 2 ) x | 1 2 = 2 3 ( 1 + 2 l n ( 2 ) ) + 2 1 + 2 l n ( 2 )

de forma que temos

x ̄ = 8 3 ( 1 + 2 l n ( 2 ) )

Vamos calcular a coordenada y ̄ agora!

Passo 4

Para integrar em y precisamos visualizar outro infinitesimal, note que

Note que a linha horizontal verde separa a região em duas! Eu fiz isso pois a definição de altura muda em cada região! Temos as seguintes integrais

y ̄ = 2 1 + 2   l n ( 2 ) ∫ 0 1 / 2 y ( 2 - y )   d y + 2 1 + 2   l n ( 2 ) ∫ 1 / 2 1 y ( 1 y - y ) d y

distribuindo, temos que

y ̄ = 2 1 + 2   l n ( 2 ) ∫ 0 1 / 2 ( 2 y - y 2 )   d y + 2 1 + 2   l n ( 2 ) ∫ 1 / 2 1 ( 1 - y 2 ) d y

Estas integrais são conhecidas, temos que

y ̄ = 2 1 + 2   l n ( 2 ) ( 2 y 2 2 ) | 0 1 / 2 - 2 1 + 2   l n ( 2 ) ( y 3 3 ) | 0 1 / 2 + 2 1 + 2   l n ( 2 ) ( y ) 1 / 2 1 - 2 1 + 2   l n ( 2 ) ( y 3 3 ) | 1 / 2 1

expandindo os limites de integração, temos que

y ̄ = 1 4 2 1 + 2   l n ( 2 ) - 1 24 2 1 + 2   l n ( 2 ) + 2 1 + 2   l n ( 2 ) [ 1 - 1 2 ] - 2 1 + 2   l n ( 2 ) [ 1 3 - 1 24 ]

simplificando, nós obtemos

y ̄ = 5 6 ( 1 + 2 l n ( 2 ) )

Nosso centróide está então em

C = ( 8 3 ( 1 + 2 l n ( 2 ) ) , 5 6 ( 1 + 2 l n ( 2 ) ) )

A questão foi isso! Te vejo na próxima! Tchau Tchau!

Resposta

C = ( 8 3 ( 1 + 2 l n ( 2 ) ) , 5 6 ( 1 + 2 l n ( 2 ) ) )

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