Determine o centróide da região limitada por:

( f )   y = x + y ,   y = x 2

Passo 1

Eaew, tudo certinho?

Nós temos que determinar o centróide da região delimitada pelas curvas

y = x + 2 e   y = x 2

esta é uma região arbitrária, que pode ser visualizada como

o centróide aqui será indicado com um ponto com duas coordenadas (estamos em uma região bidimensional), estas coordenadas são calculadas usando

x ̄ = ∫ A x ~ d A ∫ A d A e y ̄ = ∫ A y ~ d A ∫ A d A

Ou seja, nós temos duas integrais para resolver, isso será feito mudando o infinitesimal de área d A que escolhemos! Saca só!

Passo 2

Para integrarmos primeiro em x , vamos escolher um infinitesimal de área com largura d x como indicado

Note que este infinitesimal de área é dado como a área do retângulo de altura h = ( x + 2 ) - x 2 , ou seja, temos que

d A = ( x + 2 - x 2 ) d x

de forma que a integral de área é dada por

∫ - 1 2 ( x + 2 - x 2 ) d x = ∫ - 1 2 x   d x + 2 ∫ - 1 2 d x - ∫ - 1 2 x 2 d x

note que os limites de integração são dados pelo ponto em x em que as curvas se interceptam! Usando a regra da potência para integrais, temos que

∫ A d A = x 2 2 | - 1 2 + 2 ( x ) | - 1 2 - x 3 3 | - 1 2 = 9 2

Eu calculei essa área primeiro pois será utilizada em ambas as coordenadas, você pode calcular ela integrando com um infinitesimal em y da mesma forma! Agora, vamos calcular as coordenadas!

Passo 3

Para calcular a coordenada x ̄ temos que calcular a seguinte relação

x ̄ = ∫ A x ~ d A ∫ A d A = 2 9 ∫ A x ~   d A

o x ~ é apenas para diferenciar todos os " x " que aparecem dentro da integral. Podemos igualmente escrever a expressão como

x ̄ = 2 9 ∫ A x   d A = 2 9 ∫ - 1 2 x ( x + 2 - x 2 )   d x

obtendo então a integral

x ̄ = 2 9 ∫ - 1 2 ( x 2 + 2 x - x 3 )   d x = 2 9 ∫ - 1 2 x 2 d x + 4 9 ∫ - 1 2 x   d x - 2 9 ∫ - 1 2 x 3   d x

resolvendo a integral, temos que

x ̄ = 2 9 ( x 3 3 ) | - 1 2 + 4 9 ( x 2 2 ) | - 1 2 - 2 9 ( x 4 4 ) | - 1 2 = 1 2

Maravilha! Temos a primeira coordenada, vamos fazer um processo parecido para a segunda coordenada agora!

Passo 4

Para integrar em y precisamos visualizar outro infinitesimal, note que

Note que as linhas horizontais vermelhas separam a região em três! Eu fiz isso pois a definição de altura muda em cada região! E, ainda mais, note que tudo que está a esquerda é uma área “negativa” ou seja, será subtraída do resultado, temos as seguintes integrais

y ̄ = 2 9 ∫ 2 4 y ( y - y + 2 )   d y + 2 9 ∫ 0 2 y y d y - 2 9 ∫ 1 2 y ( - y + 2 )   d y - 2 9 ∫ 0 1 y y d y

distribuindo, temos que

y ̄ = 2 9 ∫ 2 4 ( y 3 / 2 - y 2 + 2 y )   d y + 2 9 ∫ 0 2 y 3 / 2 d y - 2 9 ∫ 1 2 ( 2 y - y 2 )   d y - 2 9 ∫ 0 1 y 3 / 2 d y

resolvendo as integrais, temos que

y ̄ = 2 9 ( y 5 / 2 5 / 2 ) 2 4 - 2 9 ( y 3 3 ) 2 4 + 4 9 ( y 2 2 ) 2 4 + 2 9 ( y 5 / 2 5 / 2 ) 0 2 - 4 9 ( y 2 2 ) 1 2 + 2 9 ( y 3 3 ) 1 2 - 2 9 ( y 5 / 2 5 / 2 ) 0 1

ou simplesmente

y ̄ = 8 15

A coordenada do centróide é então dada por

C = ( 1 2 , 8 15 )

A questão foi isso! Te vejo na próxima! Tchau Tchau!

Resposta

C = ( 1 2 , 8 15 )

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