Determine o centróide da região limitada por:

( g )   y = s e n ( x ) ;   y =   c o s ( x )   0 ≤ x ≤ π 4

Passo 1

Eaew, tudo certinho?

Nós temos que determinar o centróide da região delimitada pelas curvas

y = s e n ( x ) e   y = c o s ( x )

esta é uma região arbitrária, que pode ser visualizada como

o centróide aqui será indicado com um ponto com duas coordenadas (estamos em uma região bidimensional), estas coordenadas são calculadas usando

x ̄ = ∫ A x ~ d A ∫ A d A e y ̄ = ∫ A y ~ d A ∫ A d A

Ou seja, nós temos duas integrais para resolver, isso será feito mudando o infinitesimal de área d A que escolhemos! Saca só!

Passo 2

Para integrarmos primeiro em x , vamos escolher um infinitesimal de área com largura d x como indicado

Note que este infinitesimal de área é dado como a área do retângulo de altura h = c o s ( x ) - s e n ( x ) , ou seja, temos que

d A = ( c o s ( x ) - s e n ( x ) ) d x

de forma que a integral de área é dada por

∫ 0 π / 4 ( c o s ( x ) - s e n ( x ) ) d x = ∫ 0 π / 4 c o s ( x )   d x - ∫ 0 π / 4 s e n ( x ) d x

usando as integrais conhecidas para seno e cosseno, temos que

∫ A d A = s e n ( x ) | 0 π / 4 - ( - c o s ( x ) ) | 0 π / 4 = 2 2 + 2 2 - 1

ou simplesmente

∫ A d A = 2 - 1

Eu calculei essa área primeiro pois será utilizada em ambas as coordenadas, você pode calcular ela integrando com um infinitesimal em y da mesma forma! Agora, vamos calcular as coordenadas!

Passo 3

Para calcular a coordenada x ̄ temos que calcular a seguinte relação

x ̄ = ∫ A x ~ d A ∫ A d A = 1 2 - 1 ∫ A x ~   d A

o x ~ é apenas para diferenciar todos os " x " que aparecem dentro da integral. Podemos igualmente escrever a expressão como

x ̄ = 1 2 - 1 ∫ A x   d A = 1 2 - 1 ∫ 0 π / 4 x ( c o s ( x ) - s e n ( x ) )   d x

obtendo então a integral

x ̄ = 1 2 - 1 ∫ 0 π / 4 ( x c o s ( x ) - x s e n ( x ) )   d x = 1 2 - 1 ∫ 0 π / 4 x   c o s ( x ) - 1 2 - 1 ∫ 0 π / 4 x   s e n ( x )   d x

Estas integrais precisam ser resolvidas por partes! Vamos lá!

Passo 4

Integração por partes se resume em identificar componentes na seguinte expressão

∫ a b u d v = u v | a b - ∫ a b v d u

normalmente, usa-se a regra do LIPTE (Logaritmo, Inversas, Polinomiais, Trigonométricas, Exponenciais) como prioridade para definir quem é u , desta forma temos que

∫ 0 π / 4 x   c o s ( x ) = x   s e n ( x ) | 0 π / 4 - ∫ 0 π / 4 s e n ( x ) d x

que pode ser resolvida para obtermos

∫ 0 π / 4 x   c o s ( x ) = ( π / 4 ) ( 2 / 2 ) + c o s ( x ) | 0 π / 4 = π 2 8 + 2 2 - 1

analogamente, temos que

∫ 0 π / 4 x   s e n ( x ) = - x   c o s ( x ) | 0 π / 4 + ∫ 0 π / 4 c o s ( x ) d x

e

∫ 0 π / 4 x   s e n ( x ) = - ( π / 4 ) ( 2 / 2 ) + s e n ( x ) | 0 π / 4 = - π 2 8 + 2 2

de maneira que temos

x ̄ = 1 2 - 1 ∫ 0 π / 4 ( x c o s ( x ) - x s e n ( x ) )   d x = 1 2 - 1 [ π 2 8 + 2 2 - 1 + π 2 8 - 2 2 ]

ou simplesmente

x ̄ = 1 4 ( 2 - 1 ) [ π 2 - 4 ]

Se não lembrar muito bem como calcular integrais por partes, temos várias destas resolvidas no site, belezinha? Checa lá para mais detalhes! Vamos calcular a coordenada y ̄ agora!

Passo 5

Para integrar em y precisamos visualizar outro infinitesimal, note que

Note que a linha horizontal verde separa a região em duas! Eu fiz isso pois a definição de altura muda em cada região! Temos as seguintes integrais

y ̄ = 1 2 - 1 ∫ 0 2 / 2 y ( a r c s e n ( y ) - 0 )   d y + 1 2 - 1 ∫ 2 / 2 1 y ( a r c o s ( y ) - 0 ) d y

distribuindo, temos que

y ̄ = 1 2 - 1 ∫ 0 2 / 2 y   a r c s e n ( y )   d y + 1 2 - 1 ∫ 2 / 2 1 y   a r c o s ( y ) d y

Novamente, precisamos resolver estas integrais por partes! MAS, agora as funções inversas têm prioridade na escolha ao invés do polinômio, de forma que as integrais se tornam

∫ 0 2 / 2 y   a r c s e n ( y )   d y = y 2 2 a r c s e n ( y ) | 0 2 / 2 - 1 2 ∫ 0 2 / 2 y 2 d y 1 - y 2

e, analogamente, temos que

∫ 2 / 2 1 y   a r c o s ( y ) d y = y 2 2 a r c o s ( y ) | 2 1 + 1 2 ∫ 2 / 2 1 y 2 d y 1 - y 2

se precisar dê uma olhada nas derivadas das funções inversas, beleza? Percebeu uma vantagem que temos nas expressões acima?

Passo 6

A vantagem é que temos a mesma integral em ambas com limites diferentes! Então, vamos resolver de uma vez só

∫ i f y 2 d y 1 - y 2

podemos usar a substituição y = s e n ( t ) e d y = c o s ( t ) d t para obter

∫ a b s e n 2 ( t ) c o s ( t ) d t 1 - s e n 2 ( t )

como temos que 1 - s e n 2 ( t ) = c o s 2 ( t ) , o integrando se torna

∫ a b s e n 2 ( t ) d t

Essa integral é bem mais simples de ser resolvida! Usando que

s e n 2 ( t ) = 1 2 [ 1 - c o s ( 2 t ) ]

obtemos

∫ a b s e n 2 ( t ) d t = 1 2 ∫ a b d t - 1 2 ∫ a b c o s ( 2 t ) d t = 1 2 t | a b - 1 4 s e n ( 2 t ) | a b

Os limites de integração variam para cada uma de nossas integrais! Saca só!

Passo 7

Para a integral

∫ 0 2 / 2 y 2 d y 1 - y 2

temos que 0 = s e n ( t ) e 2 / 2 = s e n ( t ) , obtendo que a = 0 e b = π / 4 , ou seja, a integral é simplesmente

∫ 0 2 / 2 y 2 d y 1 - y 2 = 1 2 t | 0 π / 4 - 1 4 s e n ( 2 t ) | 0 π / 4 = π 8 - 1 4

analogamente para a segunda integral, iremos ter

∫ 2 / 2 1 y 2 d y 1 - y 2 = 1 2 t | π / 4 π / 2 - 1 4 s e n ( 2 t ) | π / 4 π / 2 = π 8 + 1 4

de maneira que a nossa coordenada pode ser obtida como

y ̄ = 1 2 - 1 [ y 2 2 a r c s e n ( y ) | 0 2 / 2 - 1 2 ∫ 0 2 / 2 y 2 d y 1 - y 2 ] + 1 2 - 1 [ y 2 2 a r c o s ( y ) | 2 1 + 1 2 ∫ 2 / 2 1 y 2 d y 1 - y 2 ]

ou simplesmente

y ̄ = 1 2 - 1 [ π 16 - 1 2 ( π 8 - 1 4 ) ] + 1 2 - 1 [ - π 16 + 1 2 ( π 8 + 1 4 ) ]

simplificando

y ̄ = 1 4 ( 2 - 1 )

O centróide está então em

C = ( 1 4 ( 2 - 1 ) [ π 2 - 4 ] , 1 4 ( 2 - 1 ) )

A questão foi isso! Te vejo na próxima! Tchau Tchau!

Passo 8

Resposta

C = ( 1 4 ( 2 - 1 ) [ π 2 - 4 ] , 1 4 ( 2 - 1 ) )

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