Determine o centróide da região limitada por:

( b )   y = x ,   y = 3 ,   x = 0

Passo 1

Eaew, tudo certinho?

Nós temos que determinar o centróide da região delimitada pelas curvas

y = x ,   y = 3 ,   x = 0

esta é uma região arbitrária, que pode ser visualizada como

o centróide aqui será indicado com um ponto com duas coordenadas (estamos em uma região bidimensional), estas coordenadas são calculadas usando

x ̄ = ∫ A x ~ d A ∫ A d A e y ̄ = ∫ A y ~ d A ∫ A d A

Ou seja, nós temos duas integrais para resolver, isso será feito mudando o infinitesimal de área d A que escolhemos! Saca só!

Passo 2

Para integrarmos primeiro em x , vamos escolher um retângulo infinitesimal de área com largura d y , sendo ele paralelo ao eixo x e de altura x = y 2 .

Note que este infinitesimal de área é dado como a área do retângulo de altura h = y 2 , ou seja, temos que

d A = ( y 2 ) d y

de forma que a integral de área é dada por

∫ 0 3 ( y 2 ) d y

note que os limites de integração são dados pelo ponto em y em que as curvas se interceptam! Usando a regra da potência para integrais, temos que

∫ A d A = y 3 3 | 0 3 = 9

Eu calculei essa área primeiro pois será utilizada em ambas as coordenadas, você pode calcular ela integrando com um infinitesimal em x da mesma forma! Agora, vamos calcular as coordenadas!

Passo 3

Para calcular a coordenada x ̄ temos que calcular a seguinte relação

x ̄ = ∫ A x ~ d A ∫ A d A = 1 9 ∫ A x ~   d A

o x ~ é apenas para diferenciar todos os " x " que aparecem dentro da integral. Podemos igualmente escrever a expressão como

x ̄ = 1 9 ∫ A x   d A = 1 9 ∫ 0 9 x ( 3 - x )   d x

obtendo então a integral

x ̄ = 1 3 ∫ 0 9 x d x - 1 9 ∫ 0 9 x 3 2   d x

resolvendo a integral, temos que

x ̄ = 1 3 ( x 2 2 ) | 0 9 - 1 9 ( x 5 2 5 / 2 ) | 0 9 = ( 27 2 ) - 2 ( 27 5 ) = 27 10

Maravilha! Temos a primeira coordenada, vamos fazer um processo parecido para a segunda coordenada agora!

Passo 4

Para integrar em y precisamos visualizar outro infinitesimal, podemos escolher retângulos infinitesimais paralelos ao eixo x e integrar de 0 ≤   y ≤   3 . Vamos considerar a altura desses retângulos x = y 2

y ̄ = 1 9 ∫ 0 3 y ( y 2 )   d y

resolvendo as integrais, temos que

y ̄ = 1 9 ∫ 0 3 y 3 d y = 1 9 ( y 4 4 ) 0 3

y ̄ = 9 4

A coordenada do centróide é então dada por

C = ( 27 10 , 9 4 )

A questão foi isso! Te vejo na próxima! Tchau Tchau!

Resposta

C = ( 27 10 , 9 4 )

Exercícios de Livros Relacionados

Use um gráfico para dar uma estimativa grosseira da área da região que fica abaixo da curva dada. A seguir, ache a área exata y = sin ⁡ x , 0 ≤ x ≤ π
Use um gráfico para dar uma estimativa grosseira da área da região que fica abaixo da curva dada. A seguir, ache a área exata y = x - 4 , 1 ≤ x ≤ 6
Os economistas usam uma distribuição acumulada chamada curva de Lorenz para descrever a distribuição de renda entre as famílias em um dado país. Tipicamente, uma curva de Lorenz é definida no interval