Determine o centróide da região limitada por:

( e )     y   =   e x   ,   x   =   0 ,   x   =   1 ,   y   =   0

Passo 1

Eaew, tudo certinho?

Nós temos que determinar o centróide da região delimitada pelas curvas

  y   =   e x   ,   x   =   0 ,   x   =   1 ,   y   =   0

esta é uma região arbitrária, que pode ser visualizada como

o centróide aqui será indicado com um ponto com duas coordenadas (estamos em uma região bidimensional), estas coordenadas são calculadas usando

x ̄ = ∫ A x ~ d A ∫ A d A e y ̄ = ∫ A y ~ d A ∫ A d A

Ou seja, nós temos duas integrais para resolver, isso será feito mudando o infinitesimal de área d A que escolhemos! Saca só!

Passo 2

Para integrarmos primeiro em x , vamos escolher um retângulo infinitesimal de área com largura d x , sendo ele paralelo ao eixo y e de altura y = e x .

Note que este infinitesimal de área é dado como a área do retângulo de altura h = e x , ou seja, temos que

d A = ( e x ) d x

de forma que a integral de área é dada por

∫ 0 1 ( e x ) d x

note que os limites de integração são dados pelo ponto em x em que as curvas se interceptam! Usando a regra da potência para integrais, temos que

∫ A d A = e x | 0 1 = e - 1

Eu calculei essa área primeiro pois será utilizada em ambas as coordenadas, você pode calcular ela integrando com um infinitesimal em y da mesma forma! Agora, vamos calcular as coordenadas!

Passo 3

Para calcular a coordenada x ̄ temos que calcular a seguinte relação

x ̄ = ∫ A x ~ d A ∫ A d A = 1 e - 1 ∫ A x ~   d A

o x ~ é apenas para diferenciar todos os " x " que aparecem dentro da integral. Podemos igualmente escrever a expressão como

x ̄ = 1 e - 1 ∫ A x   d A = 1 e - 1 ∫ 0 1 x ( e x )   d x

obtendo então a integral

x ̄ = 1 e - 1 ∫ 0 1 x e x   d x

resolvendo a integral por partes d u = e x e v = x , temos que

x ̄ = 1 e - 1 e x ( x - 1 )   | 0 1 = 1 e - 1

Maravilha! Temos a primeira coordenada, vamos fazer um processo parecido para a segunda coordenada agora!

Passo 4

Para integrar em y precisamos visualizar outro infinitesimal, podemos escolher retângulos infinitesimais paralelos ao eixo x. Para 0 ≤   y ≤   1 , temos retângulos de altura 1. Para 1 ≤   y ≤   e considerar a altura desses retângulos x = l n (   y )

y ̄ = 1 e - 1 ∫ 0 1 y ( 1 )   d y + 1 e - 1 ∫ 1 e y ( l n ( y ) )   d y

resolvendo as integrais, sendo a segunda resolvida pelo método por partes d u = y e v = l n ( y ) , temos que

y ̄ = 1 e - 1 [ ( y 2 2 ) 0 1 + ( y 2 l n ( y ) 2 - y 2 2 ) 1 e ] = 1 e - 1 [ 1 2 + e 2 ]

y ̄ = 1 + e e - 1

A coordenada do centróide é então dada por

C = ( 1 e - 1 , 1 + e e - 1 )

A questão foi isso! Te vejo na próxima! Tchau Tchau!

Resposta

C = ( 1 e - 1 , 1 + e e - 1 )

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