Determine o centróide da região limitada por:

( c )   x = y 2 - 2 y ,   y = x

Passo 1

Eaew, tudo certinho?

Nós temos que determinar o centróide da região delimitada pelas curvas

  x = y 2 - 2 y ,   y = x

esta é uma região arbitrária, que pode ser visualizada como

o centróide aqui será indicado com um ponto com duas coordenadas (estamos em uma região bidimensional), estas coordenadas são calculadas usando

x ̄ = ∫ A x ~ d A ∫ A d A e y ̄ = ∫ A y ~ d A ∫ A d A

Ou seja, nós temos duas integrais para resolver, isso será feito mudando o infinitesimal de área d A que escolhemos! Saca só!

Passo 2

Para integrarmos primeiro em x , vamos escolher um retângulo infinitesimal de área com largura d y , sendo ele paralelo ao eixo x e de altura y - ( y 2 - 2 y ) .

Note que este infinitesimal de área é dado como a área do retângulo de altura h = 3 y - y 2 , ou seja, temos que

d A = ( 3 y - y 2 ) d y

de forma que a integral de área é dada por

∫ 0 3 ( 3 y - y 2 ) d y

note que os limites de integração são dados pelo ponto em y em que as curvas se interceptam! Usando a regra da potência para integrais, temos que

∫ A d A = ( 3 y 2 2 - y 3 3 ) | 0 3 = 9 2

Eu calculei essa área primeiro, pois ela será utilizada em ambas as coordenadas, você pode calcular ela integrando com um infinitesimal em x da mesma forma! Agora, vamos calcular as coordenadas!

Passo 3

Para calcular a coordenada x ̄ temos que calcular a seguinte relação

x ̄ = ∫ A x ~ d A ∫ A d A = 2 9 ∫ A x ~   d A

Temos que inverter a função x = y 2 - 2 y para termos y(x), para isso podemos completar quadrado e teremos:

x = y 2 - 2 y = ( y - 1 ) 2 - 1

y = 1 ± x + 1

Para - 1 ≤ x ��� 0 a área é delimitada superiormente por y = 1 + x + 1 e inferiormente por y = 1 - x + 1 . Para 0 ≤ x ≤ 3 a área é delimitada superiormente por y = 1 + x + 1 e inferiormente por y = x . O x ~ é apenas para diferenciar todos os " x " que aparecem dentro da integral. Podemos igualmente escrever a expressão como

x ̄ = 2 9 ∫ A x   d A = 2 9 ( ∫ - 1 0 x ( 1 + x + 1 - 1 + x + 1 )   d x + ∫ 0 3 x ( 1 + x + 1 - x )   d x )

obtendo então a integral

x ̄ = 2 9 ( 2 ∫ - 1 0 x x + 1   d x + ∫ 0 3 ( x + x x + 1 - x 2 )   d x )

resolvendo as integrais, utilizando a substituição simples u = x + 1 , temos que

x ̄ = 2 9 ( 2 ∫ x = - 1 0 ( u 3 2 - u 1 2 )   d u + ( x 2 2 + ∫ ( u 3 2 - u 1 2 )   d u - x 3 3 ) | 0 3 )

x ̄ = 2 9 ( 2 ( 2 ( x + 1 ) 5 2 5 - 2 ( x + 1 ) 3 2 3 ) | - 1 0 + ( x 2 2 + ( 2 ( x + 1 ) 5 2 5 - 2 ( x + 1 ) 3 2 3 ) - x 3 3 ) | 0 3 )

x ̄ = 2 9 ( 4 ( 1 5 - 1 3 ) + ( 3 2 2 + ( 2 2 5 5 - 2 2 3 3 ) - 3 2 - ( 2 1 5 - 2 1 3 ) ) )

x ̄ = 2 9 ( - 9 2 + 108 15 ) = 3 5

Maravilha! Temos a primeira coordenada, vamos fazer um processo parecido para a segunda coordenada agora!

Passo 4

Para integrar em y precisamos visualizar outro infinitesimal, podemos escolher retângulos infinitesimais paralelos ao eixo x e integrar de 0 ≤   y ≤   3 . Vamos considerar a altura desses retângulos x = y - ( y 2 - 2 y )

y ̄ = 2 9 ∫ 0 3 y ( 3 y - y 2 )   d y

resolvendo as integrais, temos que

y ̄ = 2 9 ∫ 0 3 ( 3 y 2 - y 3 ) d y = 2 9 ( y 3 - y 4 4 ) 0 3

y ̄ = 2 9 ( 3 3 - 3 4 4 ) = ( 6 - 9 2 ) = 3 2

A coordenada do centróide é então dada por

C = ( 3 5 , 3 2 )

A questão foi isso! Te vejo na próxima! Tchau Tchau!

Resposta

C = ( 3 5 , 3 2 )

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