Determine m de modo que a área da região acima da reta y = m x e abaixo da parábola y = 2 x - x 2 seja 36 .

Passo 1

E aí gente, tudo certinho?

Nessa questão temos duas curvas:

y = m x y = 2 x - x 2

Queremos determinar m de modo que a área entre essas duas curvas valha 36 .

Para fazer isso podemos usar o recurso da integral. Se uma região é definida de tal forma que:

g x ≤ y ≤ f ( x )

Podemos escrever que a área dessa região é dada por:

A = ∫ a b f x - g x d x

onde a e b são determinados pela intersecção de f e g .

Massa!

Vamo nessa!

Passo 2

Bom, o enunciado nos fala que a região está abaixo da parábola e acima da reta. Logo, a parábola limita a região superiormente e a reta inferiormente. Daí:

f x = 2 x - x 2

g x = m x

Além disso, precisamos determinar as intersecções entre f e g para encontrar a e b .

Vamos igualar as equações:

m x = 2 x - x 2

Como tem x em todos os termos, x = 0 é solução.

Daí, dividindo tudo por x :

m = 2 - x

∴ x = 2 - m

Assim, podemos escrever a seguinte integral para a área entre as curvas:

A = ∫ 0 2 - m 2 x - x 2 - m x d x

m deve satisfazer:

A = 36

Excelente!

Passo 3

Vamos resolver a integral da área:

∫ 0 2 - m 2 x - x 2 - m x d x

=   ∫ 0 2 - m - x 2 + 2 - m x d x

= - x 3 3 + 2 - m x 2 2 0 2 - m

Logo:

= - 2 - m 3 3 + 2 - m 2 - m 2 2

36 = 2 - m 3 6

Daí:

36 ⋅ 6 = 6 3

= 2 - m 3

Tirando a raiz, vem que:

2 - m = 6

Logo:

m = - 4

Prontinho! Espero que vocês tenham entendido bem direitinho 😊

Resposta

- 4

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