Determine c para que a região delimitada pelas parábolas y = x 2 - c 2 e y = c 2 - x 2 seja 576

Passo 1

Faaaaaala, galera... Tranquileba??? Bora Responder Aí essa questão

Antes, vamos fazer um gráfico de ambas as equações? Assim:

Onde c é o parâmetro que delimita a abertura entre as parábolas.

Veja que são simétricos, pois se igualarmos ambas as equações:

x 2 - c 2 = c 2 - x 2 → 2 x 2 = 2 c 2

Temos que:

x = ± c

Bora pro próximo passo?

Passo 2

Obrigado por vir

Se é simétrico na parte de cima e na parte de baixo, então podemos fazer somente uma e multiplicar por 2, certo?!

Assim, peguemos a função em azul e aplicamos a integral. Bora?

Passo 3

Assim:

A = 2 ∫ - c + c c 2 - x 2 d x = 576

2 c 2 x - x 3 3 - c + c = 576

2 c 3 - c 3 3 - - c 3 - - c 3 3 = 576

2 c 3 1 - 1 3 - c 3 1 3 - 1 = 576

2 c 3 2 3 - c 3 - 2 3 = 576

c 3 4 3 + 4 3 c 3 = 576

c 3 8 3 = 576

c 3 = 216 3 = 6

∴ c = 6

Resposta

c = 6

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