Determine o valor de k > 0 para o qual o ponto de insterseção dos gráficos das funções f x = k s e n x   e   g x = t g x ,   definidas no intervalo 0 ≤ x ≤ π 3 , divida a região entre eles em duas regiões de mesma área. Vide figura abaixo.

Passo 1

Bom, medimos uma área abaixo do gráfico calulando sua integral, certo? Mas a área que estamos procurando está entre duas curvas. Então fazemos a de cima MENOS a debaixo. Com isso a gente já quase concluiu a questão. O único outro porém aí é que ele quer que aquelas duas áreas ali acima sejam iguais, logo, escrevemos assim

∫ 0 x 0 k   s e n x   d x   - ∫ 0 x 0 t g   x   d x = ∫ x 0 π t g   x   d x - ∫ x 0 π k   s e n x   d x

Agora é só calcularmos isso pra encontrar o valor de k  

Passo 2

Como k é uma constante, podemos tirá-la da integral. Com isso temos já tabelado as integrais de sem e da tangente.

k ∫ 0 x 0   s e n x   d x   - ∫ 0 x 0 t g   x   d x = ∫ x 0 π t g   x   d x - k ∫ x 0 π s e n x   d x

- k c o s s 0 x 0 - - l n c o s x 0 x 0 = - l n c o s x 0 x 0 + k cos ⁡ x 0 x 0

- k x o s x 0 + k + ln ⁡ cos ⁡ x 0 - 0 = - ln ⁡ 0,5 + ln ⁡ cos ⁡ x 0 + k 2 - k c o s x 0

Passo 3

Agora é só isolar o k . Simples assim.

k = - ln ⁡ 1 2 + k 2

k = - ln ⁡ 1 - ln ⁡ 2 + k 2

k = ln ⁡ 2 + k 2

k - k 2 = ln ⁡ 2

k = 2 ln ⁡ 2

k = ln ⁡ 4

Resposta

k = ln ⁡ 4

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