Exercícios Resolvidos de Área entre Curvas

  1. Determine os valores de x ∈ 0,2 para os quais
  2. 2 sin ⁡ π x - 1 = 0

  3. Sejam x 1 e x 2 os valores encontrados no item a , determine a equação da parábola y = f x que tem vértice em 1 2 , - 1 e cujos pontos de interseção com o eixo x são x 1 , 0 e x 2 , 0
  4. Esboce a região abaixo onde f é a função determinada no item b e x 1 e x 2 são os valores encontrados no item a
  5. R = x , y ∈ I R 2 f x < y < 2 sin ⁡ π x - 1   ;   x 1 ≤ x ≤   x 2

  6. Calcule a área da região R

Passo 1

Partiu começar. Bem, a primeira coisa que a gente pode notar é que se:

x ∈ 0,2

Então se eu multiplicar π por x , eu posso multiplicar o intervalo também:

π x ∈ 0,2 π

Opa, se o argumento do sin ⁡   , que é π x , ta dentro desse intervalo, sabemos que o arco π x necessariamente está dentro de uma volta do círculo tirgonométrico! Manipulando a equação:

2 sin ⁡ π x - 1 = 0

2 sin ⁡ π x = 1

sin ⁡ π x = 1 2

π x = arcsin ⁡ 1 2

Agora a gente precisa achar o arco cujo seno é 1 2 e esse arco tem que pertencer ao intervalo 0,2 π . Oras, esse não é um daqueles valores clássicos de seno? Olha só a tabela abaixo com alguns valores diretos:

Pelo que vimos então o arco cujo seno é 1 2 é 30 graus ou π 6 e logo:

π x = arcsin ⁡ 1 2 = π 6

x = 1 6

Mas antes de fecharmos essa letra, temos que lembrar uma propriedade importantíssima:

sin ⁡ θ = sin ⁡ π - θ

Em outras palavras:

sin ⁡ π 6 = sin ⁡ π - π 6 = 1 2

sin ⁡ π 6 = sin ⁡ 6 π 6 - π 6 = 1 2

sin ⁡ π 6 = sin ⁡ 5 π 6 = 1 2

Se o arco 5 π 6 possui o mesmo seno que o arco π 6 então não só será válido

π x = arcsin ⁡ 1 2 = π 6

Como vimos, mas também será válido:

π x = arcsin ⁡ 1 2 = 5 π 6

x = 5 6

E logo, x pode assumir outro valor! Fechamos essa letra. Vamos ter:

x 1 = 1 6 x 2 = 5 6

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Pra letra b a gente pode pensar numa parte importante do enunciado: “cujos pontos de interseção com o eixo x são x 1 , 0 e x 2 , 0 ”. Galera, ponto de interseção com o eixo x e raízes são a mesma coisa! Sendo assim, podemos escrever a equação da parábola segundo o modelo:

y = f x = a x - x 1 x - x 2

E como conhecemos:

x 1 = 1 6 x 2 = 5 6

Vamos ter:

y = f x = a x - 1 6 x - 5 6

Show de bola. Pra gente fechar falta só achar que é o a nessa equação. Pô, o enunciado deu pra gente o ponto 1 2 , - 1 que faz parte da curva! Então se substituirmos as coordenadas desse ponto na equação...:

- 1 = a 1 2 - 1 6 1 2 - 5 6

- 1 = a 3 6 - 1 6 3 6 - 5 6 = a 2 6 - 2 6 = a 1 3 - 1 3 = - a 9

E logo:

- 1 = - a 9 → a = 9

A equação final da parábola será:

y = f x = 9 x - 1 6 x - 5 6

Passo 3

Vamos esboçar agora:

R = x , y ∈ I R 2 f x < y < 2 sin ⁡ π x - 1   ;   x 1 ≤ x ≤   x 2

Pra começar, nota o seguinte, verticalmente, R está limitado por f x e 2 sin ⁡ π x - 1 . Então se a gente chamar esse carinha de g :

g x = 2 sin ⁡ π x - 1

Como na letra a achamos os valores de x que satisfaziam:

2 sin ⁡ π x - 1 = 0

Achamos então as raízes de g x ! Afinal isso é o mesmo que achar x tal que:

g x = 0

E olha só! Essas raízes são as mesmas de f x e são exatamente os valores de x que delimitam a região R . Sendo então:

  • Uma parábola uma função com “cara de copo”, com a boca virada pra cima já que a = 9 > 0
  • Uma função seno uma função oscilatória que no intervalo 1 6 ≤ x ≤ 5 6 →   π 6 ≤ π x ≤ 5 π 6 está acima do eixo x , uma vez que só a partir do arco π x = π   ; x = 1 que o seno inverte de sinal.

Um bom esboço que podemos fazer é:

Passo 4

Calma galera, ta acabando. Falta só achar a área dessa região doida que esboçamos, pra isso, podemos dividir ela em duas:

Calculando primeiro a área verde, como a função que ta acima do eixo x é a senoidal, e também já sabemos os limites de integração, montamos de boas essa área:

A v e r d e = ∫ 1 6 5 6 2 sin ⁡ π x - 1 d x

A v e r d e = - 2 cos ⁡ π x π - x x = 1 6 x = 5 6

A v e r d e = - 2 cos ⁡ 5 π 6 π - 5 6 - - 2 cos ⁡ π 6 π - 1 6

Como, do círculo trigonométrico:

cos ⁡ θ = - cos ⁡ π - θ

Vamos ter:

cos ⁡ π 6 = - cos ⁡ π - π 6 → cos ⁡ 5 π 6 = - cos ⁡ π 6

Substituindo na equação da área:

A v e r d e = - 2 cos ⁡ 5 π 6 π - 5 6 + 2 cos ⁡ π 6 π + 1 6

A v e r d e = 2 cos ⁡ π 6 π - 5 6 + 2 cos ⁡ π 6 π + 1 6

A v e r d e = 4 cos ⁡ π 6 π - 4 6

Da tabelinha no passo 1 tiramos:

A v e r d e = 4 3 2 π - 2 3

A v e r d e = 2 3 π - 2 3

Agora pra área azul, vamos ter:

A a z u l = - ∫ 1 6 5 6 9 x - 1 6 x - 5 6   d x = - ∫ 1 6 5 6 9 x 2 - x + 5 36   d x

A a z u l = - ∫ 1 6 5 6 9 x 2 - 9 x + 5 4   d x = ∫ 1 6 5 6 - 9 x 2 + 9 x - 5 4   d x

Como essa integral é uma integral só de polinômios, resolvemos ela de forma direta viu? Vamos ter:

A a z u l = ∫ 1 6 5 6 - 9 x 2 + 9 x - 5 4   d x = - 9 x 3 3 + 9 x 2 2 - 5 x 4 x = 1 6 x = 5 6 = - 3 x 3 + 9 x 2 2 - 5 x 4 x = 1 6 x = 5 6

A a z u l = - 3 ∙ 5 3 6 3 + 9 2 ∙ 5 2 6 2 - 5 4 ∙ 5 6 - - 3 ∙ 1 6 3 - 9 2 ∙ 1 6 2 + 5 4 ∙ 1 6

Colocando tudo no mesmo denominador

A a z u l = - 3 ∙ 4 ∙ 5 3 4 ∙ 6 3 + 9 ∙ 6 ∙ 2 ∙ 5 2 4 ∙ 6 3 - 5 2 ∙ 6 2 4 ∙ 6 3 - - 3 ∙ 4 4 ∙ 6 3 + 9 ∙ 6 ∙ 2 4 ∙ 6 3 - 5 ∙ 6 2 4 ∙ 6 3

E daqui em diante é só conta e mais conta pra ter certeza que fizemos tudo certinho

A a z u l = - 3 ∙ 4 ∙ 5 3 4 ∙ 6 3 + 9 ∙ 6 ∙ 2 ∙ 5 2 4 ∙ 6 3 - 5 2 ∙ 6 2 4 ∙ 6 3 + 3 ∙ 4 4 ∙ 6 3 - 9 ∙ 6 ∙ 2 4 ∙ 6 3 + 5 ∙ 6 2 4 ∙ 6 3

A a z u l = 3 ∙ 4 4 ∙ 6 3 1 - 5 3 + 9 ∙ 6 ∙ 2 4 ∙ 6 3 5 2 - 1 + 5 ∙ 6 2 4 ∙ 6 3 1 - 5

A a z u l = 3 ∙ 4 4 ∙ 6 3 1 - 125 + 9 ∙ 6 ∙ 2 4 ∙ 6 3 25 - 1 + 5 ∙ 6 2 4 ∙ 6 3 - 4

A a z u l = 3 ∙ 4 4 ∙ 6 3 - 124 + 9 ∙ 6 ∙ 2 4 ∙ 6 3 24 + 5 ∙ 6 2 4 ∙ 6 3 - 4

A a z u l = 3 ∙ 4 6 3 - 31 + 9 ∙ 6 ∙ 2 6 3 6 - 5 ∙ 6 2 6 3

A a z u l = - 372 6 3 + 648 6 3 - 180 6 3

A a z u l = 96 6 3 = 16 6 2 = 16 36 = 8 18 = 4 9

Somando as duas áreas, vamos ter:

A = A v e r d e + A a z u l

A = 2 3 π - 2 3 + 4 9 = 18 3 9 π - 6 π 9 π + 4 π 9 π

A = 18 3 - 2 π 9 π

Resposta

  1. f 1 = 0 f ' 1 = - 9
  2. y = 9 - 9 x
  3. A = 18 3 - 2 π 9 π

Esse conteúdo é exclusivo para cadastrados.

Cadastre-se grátis no maior portal de exatas do Brasil!

Relaxa, não vamos publicar nada no seu nome.

  • Resumões direto ao ponto
    Resumões
    direto ao ponto
  • Exercícios resolvidos passo a passo
    Exercícios resolvidos
    passo a passo
  • Videoaulas incríveis
    Videoaulas
    incríveis
  • Aulões Salva-Vidas
    Aulões
    Salva-Vidas

Muita matéria pra estudar?

Dexter Estudando

Cadastre-se para acessar os Resumões Gratuitos

Relaxa, não vamos publicar nada no seu nome.

  • Resumões direto ao ponto
    Resumões
    direto ao ponto
  • Exercícios resolvidos passo a passo
    Exercícios resolvidos
    passo a passo
  • Videoaulas incríveis
    Videoaulas
    incríveis
  • Aulões Salva-Vidas
    Aulões
    Salva-Vidas