Determine o volume da região interior à esfera x 2 + y 2 + z 2 = 4 a 2 e exterior ao cilindro x 2 + y 2 = 2 a x , com a > 0 .

Passo 1

Fala, galera! Vamos resolver essa questão!

O enunciado pediu pra gente determinar o volume da região dentro da esfera x 2 + y 2 + z 2 = 4 a 2 e fora do cilindro x 2 + y 2 = 2 a x , com a > 0 . Plotando o cilindro e a esfera, teremos:

Então, vamos descobrir como x , y e z estão variando dentro da nossa região e em seguida, usar as coordenadas cilíndricas, pra ficar mais fácil de integrar, através das relações:

x = r cos ⁡ θ

y = r sin ⁡ θ

z = z

Vamos lá!

Passo 2

Vamos começar analisando a equação do cilindro x 2 + y 2 = 2 a x , usando x 2 + y 2 = r 2 :

r 2 = 2 a x

Mas a gente sabe que x = r cos ⁡ θ , então:

r 2 = 2 a r cos ⁡ θ

r = 2 a cos ⁡ θ

Então, temos o intervalo de variação do raio:

0 ≤ r ≤ 2 a cos ⁡ θ

Como a gente quer que a seja sempre positivo, vamos pegar o ângulo de variação θ no intervalo:

0 ≤ θ ≤ π 2

E multiplicar por 4 , pra pegar os octantes positivos do espaço tridimensional. Além disso, isolando z na equação da esfera, e pegando só a parte positiva, vemos que ele varia como:

0 ≤ z ≤ 4 a 2 - x 2 - y 2

Mas como x 2 + y 2 = r 2 , temos:

0 ≤ z ≤ 4 a 2 - r 2

Passo 3

Com os nossos intervalos, conseguimos montar a integral:

V = 4 ∫ 0 π / 2 ∫ 0 2 a cos ⁡ θ ∫ 0 4 a 2 - r 2 d z r d r d θ  

Então, integrando em relação a z :

V = 4 ∫ 0 π 2 ∫ 0 2 a cos ⁡ θ z 0 4 a 2 - r 2 r d r d θ

V = 4 ∫ 0 π 2 ∫ 0 2 a cos ⁡ θ 4 a 2 - r 2   r d r d θ  

Pra integrar em relação a r , vamos fazer uma substituição e chamar u = 4 a 2 - r 2 , de modo que:

d u = - 2 r   d r →   - d u 2 = r   d r

Substituindo na integral:

V = 4 ∫ 0 π 2 ∫ 0 2 a cos ⁡ θ - 1 2 u   d u d θ  

Integrando em relação a u :

V = 4 ∫ 0 π 2 - 1 2 2 3 u 3 2 0 2 a cos ⁡ θ d θ  

Voltando a nossa variável r original, antes de aplicar os intervalos:

V = - 2 ∫ 0 π 2 2 3 ( 4 a 2 - r 2 ) 3 2 0 2 a cos ⁡ θ d θ

Aplicando os limites de integração em r :

V = - 2 ∫ 0 π 2 - 8 3 a 3 ( sin 3 ⁡ θ - 1 ) d θ

Assim, integrando em relação a θ e aplicando os intervalos de integração, vamos ter:

V = 16 a 3 3 π + 4 3

Valeu, galera! Até a próxima! 😉

Resposta

V = 16 a 3 3 π + 4 3

Exercícios de Livros Relacionados

Use um gráfico para dar uma estimativa grosseira da área da região que fica abaixo da curva dada. A seguir, ache a área exata y = sin ⁡ x , 0 ≤ x ≤ π
Use um gráfico para dar uma estimativa grosseira da área da região que fica abaixo da curva dada. A seguir, ache a área exata y = x - 4 , 1 ≤ x ≤ 6
Os economistas usam uma distribuição acumulada chamada curva de Lorenz para descrever a distribuição de renda entre as famílias em um dado país. Tipicamente, uma curva de Lorenz é definida no interval