EE3. 2015.2 Considere a região no primeiro quadrante limitada pelas curvas y = 8 x , y = 2 x e y = 8 x . Esboce a região e calcule sua área.

Passo 1

Eaee!!! Belezinha? Bom... a questão nos pede para esboçar as regiões entre os gráficos f x = 8 x , g x = 2 x e h x = 8 x .

Além disso, a questão também nos pede a área delimitada pelas curvas.

Plotando primeiramente os dois gráficos e colocando em evidência as regiões delimitadas, temos:

Para descobrir a área A de cada região, primeiro temos que encontrar os pontos de interseção para descobrirmos os limites de integração.

Depois, basta aplicarmos nas integrais!!

E aí?? Bora lá??

Passo 2

Primeiramente vamos descobrir os pontos de interseção entre f ( x ) e g x :

f x = g x ∴

8 x = 2 x ∴

x = 2

Logo, y = 8 2 = 4 .

Assim, temos o ponto 2,4 .

Já para g x e h x , temos:

g x = h x ∴

2 x = 8 x ∴

x = 0

Logo, y = 2 * 0 = 0 .

Assim, temos o ponto 0,0 .

Por fim, igualando f ( x ) e h x , temos:

8 x = 8 x ∴

x 2 = 1 ∴

x = 1

Passo 3

Dessa forma, podemos descobrir nossa área A fazendo as seguintes integrais:

A = ∫ 0 1 h x d x + ∫ 1 2 f x d x - ∫ 0 2 g x d x ∴

A = ∫ 0 1 8 x d x + ∫ 1 2 8 x d x - ∫ 0 2 2 x d x ∴

A = 4 x 2 1 0 + 8 ln ⁡ x 2 1 - x 2 2 0 ∴

A = 2 + 8 ln ⁡ 2 - 4 ∴

A = - 2 + 8 ln ⁡ 2  

Entendeu direitinho? Responde aee ;)

Resposta

A = - 2 + 8 ln ⁡ 2  

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