EE3. 2017.2 Sabe-se que as curvas y   =   2 x e y   =   x 2 intersectam-se em exatamente três pontos com abscissas c , 2   e   4 , respectivamente, onde número c é um real negativo. Calcule a área total, em termos de c , da região entre c ≤ x ≤ 4 .

Passo 1

Eaee!!! Belezinha? Bom... a questão nos pede para calcularmos a área total da intersecção entre as funções y   =   2 x e y   =   x 2 .

Para isso, como sabemos que as curvas irão se encontrar em 3 pontos distintos ( c , 2   e   4 ), então já temos os limites das nossas integrais!!

Ou seja, uma integral irá de c a 2 , e a outra terá os limites 2 e 4 .

Para descobrir a área A de cada região, fazemos da seguinte forma:

A = ∫ f m a i o r - f m e n o r d x

Onde f m a i o r representa a função que limita região por cima e f m e n o r , a nossa função por baixo.

E aí?? Bora lá??

Passo 2

Dessa forma, fazendo para a primeira região, temos:

A 1 = ∫ c 2 2 x - x 2 d x ∴

A 1 = 2 x ln ⁡ 2 - x 3 3 2 c ∴

A 1 = 3,104 - 2 c ln ⁡ 2 - c 3 3

Passo 3

Já para a região segunda região, temos:

A 2 = ∫ 2 4 x 2 - 2 x d x ��

A 2 = x 3 3 - 2 x ln ⁡ 2 4 2 ∴

A 2 = 56 3 - 12 ln ⁡ 2

Passo 4

Dessa forma, temos que a área total é dada por:

A = A 1 + A 2 ∴

A = 3,104 - 2 c ln ⁡ 2 - c 3 3 + 56 3 - 12 ln ⁡ 2 ∴

A = 39,083 - 2 c ln ⁡ 2 + c 3 3

Entendeu direitinho? Responde aee ;)

Resposta

A = 39,083 - 2 c ln ⁡ 2 + c 3 3

Exercícios de Livros Relacionados

Use um gráfico para dar uma estimativa grosseira da área da região que fica abaixo da curva dada. A seguir, ache a área exata y = sin ⁡ x , 0 ≤ x ≤ π
Use um gráfico para dar uma estimativa grosseira da área da região que fica abaixo da curva dada. A seguir, ache a área exata y = x - 4 , 1 ≤ x ≤ 6
Os economistas usam uma distribuição acumulada chamada curva de Lorenz para descrever a distribuição de renda entre as famílias em um dado país. Tipicamente, uma curva de Lorenz é definida no interval