Encontrar a área da região delimitada pelo laço interno da limaçon r = 1 - 2 sin ⁡ θ . Grafique.

Passo 1

Fala, galera! Vamos resolver essa questão!

O enunciado pediu pra gente calcular a área da região polar dada pela equação r = 1 - 2 sin ⁡ θ . Em coordenadas polares a área da região é dada pela integral:

A = ∫ a b 1 2 r ( θ ) d θ

Onde r é a função que determina como o raio da curva varia em relação ao ângulo no intervalo a ,   b .

Então, vamos lá montar nossa integral!

Passo 2

Nós temos uma equação do tipo r = a ± b sin ⁡ θ , com b = 2 e a = 1 , logo b > a e temos um limaçon com um laço, simétrico em relação ao eixo π 2 :

Como queremos apenas a área do laço interno do limaçon, vamos usar o fato dele ser simétrico em relação ao eixo π 2 , calculando a área multiplicando por dois no intervalo π 3 , π 2 . Assim, teremos:

A = 2 ∫ π / 3 π / 2 1 2 ( 1 - 2 sin ⁡ θ ) d θ

A = ∫ π / 3 π / 2 ( 1 - 2 sin ⁡ θ ) d θ

Separando os termos, temos as integrais:

A = ∫ π / 3 π / 2 ( 1 ) d θ - ∫ π / 3 π / 2 ( 2 sin ⁡ θ ) d θ

A = ∫ π / 3 π / 2 d θ - 2 ∫ π / 3 π / 2 ( sin ⁡ θ ) d θ

Calculando as integrais, temos:

A = ( θ - 2 cos ⁡ θ ) π / 3 π / 2

Aplicando os intervalos de integração:

A = π 2 - 2 cos ⁡ π 2 - π 3 + 2 cos ⁡ π 3

A = π 2 - 0 - π 3 + 2 ∙ 1 2

A = π 6 - 1

Prontinho, galera! Até a próxima! 😉

Resposta

A = π 6 - 1

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