Encontre a área delimitada pela reta y   =   x   -   2 e pela parábola x   =   y 2

Passo 1

Vamos resolver o problema da maneira correta agora. Para encontrar a área delimitada pela reta y = x - 2   e   p e l a   p a r á b o l a   x = y 2 , podemos usar a integral definida com os limites corretos.

Primeiro, encontraremos os pontos de interseção entre as duas curvas:

1 .   R e t a :   y = x - 2

2 .   P a r á b o l a :   x = y 2

Substituindo a equação da parábola em x na equação da reta:

x = x - 2 2

Expandindo e simplificando:

x = x 2 - 4 x + 4

Resolvendo a equação quadrática:

x 2 - 5 x + 4 = 0

Fatorando a equação:

x - 1 x - 4 = 0

Portanto, os pontos de interseção são x - 1 x - 4 .

Passo 2

Substituindo esses valores na equação da reta, obtemos os valores correspondentes de y :

P a r a   x = 1 :

y = 1 - 2 = - 1

P a r a   x = 4

y = 4 - 2 = 2

Agora que temos os pontos de interseção ( - 1,1 ) e ( 2,4 ) podemos calcular a área entre as curvas

- 1 ≤ x ≤ 2

x 2 ≤ y ≤ x + 2

Passo 3

Calculando a região entre as curvas

A = ∫ - 1 2 ∫ x 2 x + 2 d y d x

A = ∫ - 1 2 x + 2 - x 2 d x

A = x 2 2 + 2 x - x 3 3

Vamos aplicar os limites de integração

A = 2 2 2 + 2 ⋅ 2 - 2 3 3 - - 1 2 2 + 2 - 1 - - 1 3 2

A = 2 + 4 - 8 3 - 1 2 + 2 - 1 3

A = 8 - 3 - 1 2

A = 5 - 1 2

A = 9 2

Resposta

A = 9 2

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