Exercícios Resolvidos de Área entre Curvas

Origem do Exercício

Encontre a área da região limitada acima por f x = x + 6 , abaixo por g x = x 2 e nas laterais por x = 0 e x = 2 .

Passo 1

O primeiro passo nesse caso é fazer um esboço de cada uma dessas equações no plano.

Começando pelo mais fácil: x = 0 e x = 2 são só duas retas verticais cruzando esses pontos.

Para fazer o esboço da f ( x ) de forma útil, é uma boa ideia calcular f 0 = 0 e f 2 = 8 , e traçar uma reta entre esses dois pontos.

E para a g ( x ) também, você sabe que é uma parábola por conta do x 2 , então calcule que g 0 = 0 e g 2 = 4 e faça uma parábola razoável que passe por esses dois pontos.

Você deve ficar com algum parecido com isso aqui:

E o nosso objetivo é calcular essa área que está em azul.

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Passo 2

Percebe que essa região azul é simplesmente a área embaixo da reta vermelha menos a área em baixo da parábola azul? Tudo isso no intervalo 0 < x < 2 .

Mas “área embaixo da função” é exatamente o que a integral calcula, então escrevendo isso como integrais, vamos achar o seguinte:

A = ∫ 0 2 f x - g ( x )   d x

Ótimo, agora é só substituir:

A = ∫ 0 2 f x - g ( x )   d x

A = ∫ 0 2 x + 6 - x 2   d x

E agora ficamos com a integral de um polinômio. Lembra como integra uma função desse tipo? A lógica é essa aqui:

∫ x 2   d x = x 3 3 + C

∫ x d x = x 2 2 + C

∫ d x = x + C

Passo 3

Ótimo, agora vamos aplicar essas técnicas para calcular a área:

A = ∫ 0 2 x + 6 - x 2   d x

A = ∫ 0 2 x   d x + 6 ∫ 0 2 d x - ∫ 0 2 x 2   d x

Como todas as integrais vão ser nulas quando x = 0 , fica fácil substituir os limites:

A = 2 2 2 + 6 2 - 2 3 3 = 14 - 8 3 = 34 3   u . a .

Pronto, essa é a área da nossa região.

Resposta

A área da região é 34 3 u . a .

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