Encontre a área da região limitada pela curva nos setores indicados:

b)

r = sin ⁡ θ , π 3 ≤ θ ≤ 2 π 3

Passo 1

Eaee!!! Belezinha? Bom... a questão nos pede para encontrarmos a área da seguinte curva dada em coordenadas polares no intervalo π 3 ≤ θ ≤ 2 π 3 :

r = sin ⁡ θ

Para podermos encontrar essa área A , temos que ter em mente que a área de uma curva representada em coordenadas polares é dada por:

A = ∫ a b 1 2 r 2 d θ

Agora vamos substituir o r que nos foi dado no enunciado!!

😉

Passo 2

Dessa forma, substituindo a expressão r = θ e aplicando o intervalo dado, temos:

A = ∫ π 3 2 π 3 1 2 sin ⁡ θ 2 d θ ∴

A = 1 2 ∫ π 3 2 π 3 sin 2 ⁡ θ d θ

Lembrando da seguinte identidade trigonométrica, temos:

sin 2 ⁡ θ = 1 - cos ⁡ 2 θ 2

Substituindo essa identidade trigonométrica e expandindo a integral, temos:

A = 1 2 ∫ π 3 2 π 3 1 - cos ⁡ 2 θ 2 d θ ∴

A = 1 2 ∫ π 3 2 π 3 1 2 d θ - ∫ π 3 2 π 3 cos ⁡ 2 θ 2 d θ

Passo 3

Vamos resolver a primeira integral dentro dos colchetes:

∫ π 3 2 π 3 1 2 d θ =

= 1 2 * θ 2 π 3 π 3 ∴

= 1 2 2 π 3 - π 3 ∴

= π 6

Passo 4

Vamos agora resolver a segunda integral dentro dos colchetes:

∫ π 3 2 π 3 cos ⁡ 2 θ 2 d θ =

= 1 2 ∫ π 3 2 π 3 cos ⁡ 2 θ d θ ∴

Fazendo u = 2 θ ∴ d u = 2 d θ , temos:

= 1 2 ∫ π 3 2 π 3 cos ⁡ u d u 2 ∴

= 1 4 ∫ π 3 2 π 3 cos ⁡ u   d u ∴

= 1 4 sin ⁡ 2 θ 2 π 3 π 3 ∴

= 1 4 sin ⁡ 4 π 3 - sin ⁡ 2 π 3 ∴

= - 3 4

Passo 5

Agora, substituindo os valores encontrados nos Passos 3 e 4, temos:

A = 1 2 π 6 - - 3 4 ∴

A = π 12 + 3 8 ∴

A = 2 π + 3 3 24

Entendeu direitinho? Responde aee ;)

Resposta

A = 2 π + 3 3 24

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