Encontre a área da região limitada pelo gráfico das funções f x = c o s ( x ) e g ( x )   = 1 - c o s ( x ) para 0 ≤ x ≤ π / 2 .

Passo 1

Fala galera, tudo bem? Vamos resolver essa questão juntos?

Segura minha mão e vem comigo!

f ( x ) e g ( x ) , em um intervalo fechado [ a , b ] , é a área mostrada na figura aqui embaixo:

E essa área é dada por:

Á r e a = ∫ a b f x - g x d x

É a integral da função de cima menos a função de baixo. Então o problema está na gente descobrir quem é que está em cima e quem é que está embaixo.

Será que a gente pode simplesmente calcular o valor das duas funções em um ponto, pra ver quem é maior? Ou então será que podemos calcular as duas áreas e ver quem é maior? Não, nem sempre vai ser tão simples assim. Não é sempre que uma função é maior que a outra em todo o intervalo. Pode acontecer delas se cruzarem e, em uma hora, a f(x) estar em cima da g(x) e em outra hora, ser ao contrário. Esquisito? Vamos ver se isso acontece no próximo passo.

Passo 2

Vamos ver se há algum ponto onde essas duas curvas se encontram, pra descobrir se uma delas fica em cima todo o tempo, ou se elas cruzam e invertem. Pra ver se duas funções se cruzam, a gente iguala né:

f x = g ( x )

cos ⁡ x = 1 - c o s ⁡ ( x )

2 cos ⁡ x = 1

cos ⁡ x = 1 2

Então a gente sabe que quando o cosseno vale ½ essas funções de cruzam, ou seja, em x = π / 3 . Isso quer dizer que em x = π / 3 há uma quebra no intervalo. Para saber quem é maior antes e depois de x = π / 3 , é só pegar um ponto e testar as duas.

Antes de π / 3 vou escolher π 4 :

f π 4 = cos ⁡ π 4 = 2 2 ≅ 0,7

g π 4 = 1 - cos ⁡ π 4 = 1 - 2 2 ≅ 0,3

Logo, de 0 até π / 3 quem está por cima é f ( x ) .

Para o trecho depois de π / 3 , vamos olhar pro extremo do intervalo x = π / 2 . Quando x vai se aproximando de π / 2 , a função f x vai tendendo ao zero, pois cos ⁡ π 2 = 0 , já a função g ( x ) vai tendendo a 1. Então, em π 3 < x < π 2 a função g x é maior do que a função f ( x ) , ou seja, ela fica em cima, no gráfico.

Passo 3

Fazendo um gráfico dessa área a gente tem o seguinte:

Entre 0 e a curva vertical azul x = π 3 a curva verde (que é a f ( x ) ) está acima da curva vermelha (que é a g ( x ) ). Bem em x = π / 3 essas duas curvas tem o mesmo valor f x = g ( x ) . E entre π / 3 e π / 2 a função vermelha está por cima da função verde.

Assim vai ser preciso quebrar essa região em duas: uma de 0 até π / 3 e outra de π / 3 até π / 2 . Saca só:

Á r e a =   ∫ 0 π / 3 [ f x - g ( x ) ] d x + ∫ π / 3 π / 2 [ g x - f ( x ) ] d x

Reparem que o integrando acompanha a troca de limites. A função que está por cima MENOS a função que está por baixo, beleza?

Passo 4

Agora vamos substituir as funções f e g nos integrandos:

f x = c o s ⁡ ( x )

g x = 1 - c o s ⁡ ( x )

Aí nossa área fica assim:

Á r e a =   ∫ 0 π / 3 [ c o s ⁡ ( x ) - 1 + c o s ⁡ ( x ) ] d x + ∫ π / 3 π / 2 [ 1 - c o s ⁡ ( x ) - c o s ⁡ ( x ) ] d x

Agrupando os termos semelhantes temos o seguinte:

Á r e a =   ∫ 0 π / 3 [ 2 cos ⁡ x - 1 ] d x + ∫ π / 3 π / 2 [ 1 - 2 c o s ⁡ ( x ) ] d x

E agora é só resolver essas integrais!!

Calma, vamos juntos!

Passo 5

Começando pela primeira da direita:

=   ∫ 0 π 3 2 cos ⁡ x - 1 d x

A integral do cosseno é o seno, e a integral de 1 é x , daí ficamos com o seguinte:

= 2 s e n x - x 0 π 3   = 2 s e n π 3 - π 3 - s e n 0 - 0 = 2 3 2 - π 3

Passo 6

E agora a outra integral:

∫ π 3 π 2 1 - 2 cos ⁡ x d x = x - 2 s e n x π 3 π 2 =

π 2 - 2 s e n π 2 - π 3 - 2 s e n π 3 = π 2 - π 3 - 2 + 2 3 2

Passo 7

Estamos quase lá! Agora precisamos juntar os resultados dos passos 5 e 6:

Á r e a = 2 3 2 - π 3 + π 2 - π 3 - 2 + 2 3 2

E simplificar o máximo que der! Juntando as raízes e fazendo o mmc nos termos que tem π :

Á r e a = 2 3 - 2 π 3 + π 2 - 2 = 2 3 - 1 - 4 π 6 + 3 π 6

Á r e a = 2 3 - 1 - π 6

Tranquilo?

Espero ter ajudado!

Resposta

2 3 - 1 - π 6

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