Encontre a área da região limitada pela parábola y = x 2 , pela reta tangente a esta parábola em ( 1,1 ) e pelo eixo O x .

Passo 1

Fala aí pessoal, tudo bom com vocês?

Nessa questão temos uma região limitada por:

- uma parábola: y = x 2 ;

- a reta tangente a essa parábola em ( 1,1 ) ;

- eixo O x .

Queremos calcular a área dessa região.

Para fazer isso, vamos começar esboçando melhor essa região e depois podemos usar o recurso da integral. Se uma região é definida de tal forma que:

g y ≤ x ≤ f ( y )

Podemos escrever que a área dessa região é dada por:

A = ∫ a b f y - g y d y

onde a e b são determinados pela intersecção de f e g .

Massa!

Vamo nessa!

Passo 2

Bom, a parábola y = x 2 é tangente ao eixo O x em ( 0,0 ) e simétrica ao eixo O y .

Já a tangente à parábola em ( 1,1 ) pode ser dada pela derivada da equação da parábola.

y ' = 2 x

Esse é o coeficiente angular da reta. Como queremos no ponto ( 1,1 ) , temos:

y ' = 2

Daí, a reta:

y = a x + b

Será dada por:

y = 2 x + b

Como ( 1,1 ) pertence à reta:

1 = 2 ⋅ 1 + b

∴ b = - 1

Portanto, a equação da reta tangente à parábola é dada por:

y = 2 x - 1

Agora vamos esboçar essas duas curvas, junto com o eixo O x , em um mesmo gráfico.

Muito bom!

Passo 3

Para calcular a área dessa região, vamos usar aquela ideia que comentamos no passo 1 .

A = ∫ a b f y - g y d y

Nesse caso, a função que delimita a nossa região inferiormente com relação ao eixo y é a parábola. Logo:

y = x 2

∴ x = y

Então:

g y = y

Já a função que delimita essa região superiormente é a reta tangente, assim:

y = 2 x - 1

∴ x = y + 1 2

Então:

f y = y + 1 2

Como a nossa região vai de y = 0 até y = 1 , substituindo na integral, temos:

A = ∫ 0 1 y + 1 2 - y d y

=   ∫ 0 1 y 2 - y 1 2 + 1 2 d y

= y 2 4 - 2 3 y 3 2 + y 2 0 1

Logo:

A = 1 4 - 2 3 + 1 2

⇒ A = 1 12

Aeee! Terminamos!

Espero que vocês tenham entendido bem direitinho, até a próxima 😉

Resposta

1 12

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