Encontre o número b tal que a reta y = b divida a região limitada pelas curvas y = x 2 e y = 4 em duas regiões com áreas iguais. (Dica: b b = b 3 )

Passo 1

Oiie gente, como vocês estão?

Nessa questão temos uma região que é limitada pelas curvas:

y = x 2 y = 4

Queremos encontrar a reta horizontal y = b que divida essa região em duas partes iguais.

Para fazer isso, vamos primeiro calcular a área entre as curvas iniciais, e depois montamos uma equação para que a área entre uma das curvas e a reta y = b valha metade do valor calculado.

Daí, resolvemos a equação e encontramos b .

Beleza?

Vem com a gente!

Passo 2

Bom, para calcular a área entre as curvas:

y = x 2 y = 4

Podemos usar que:

A = ∫ a b f x - g x d x

onde f e g são as curvas que delimitam a região superiormente e inferiormente. E, a e b são os pontos de intersecção das curvas.

No nosso caso, temos que:

y = 4

Delimita a região superiormente, logo:

f x = 4

Consequentemente:

g x = x 2

Quando aos pontos de intersecção:

x 2 = 4

x = ± 2

Daí, ficamos com a integral:

A = ∫ - 2 2 4 - x 2 d x

= 4 x - x 3 3 - 2 2

= 4 ⋅ 2 - 2 3 3 - 4 ⋅ - 2 - - 2 3 3

Portanto:

A = 32 3

Massa!

Passo 3

Queremos então que a reta y = b divida essa área pela metade.

A área entre essa reta e a parábola é calculada praticamente do mesmo jeito do item anterior, precisamos apenas trocar 4 por b .

Assim:

A 2 = 16 3 = ∫ - b b b - x 2 d x

= b x - x 3 3 - b b

= 2 ⋅ b b - b 3 3

Usando a dica do enunciado:

b b = b 3

Vem:

16 3 = 4 b 3 3

Logo:

b 3 = 4

⇒ b = 2 4 3

Prontinho, gente! Curtiram a solução?

Responde Aí!

Resposta

2 4 3

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