Encontre os valores de c tais que a área da região delimitada pelas parábolas y = x 2 - c 2 e y = c 2 - x 2 seja 576 .

Passo 1

Fala aí pessoal, tudo bem com vocês?

Nessa questão recebemos duas parábolas:

y = x 2 - c 2 y = c 2 - x 2

O enunciado nos pede para determinar c de modo que a área da região entre as parábolas seja de 576 .  

Para fazer isso podemos usar o recurso da integral para escrever a área entre as parábolas. Se uma região é definida de tal forma que:

g x ≤ y ≤ f ( x )

Podemos escrever que a área dessa região é dada por:

A = ∫ a b f x - g x d x

onde a e b são determinados pela intersecção de f e g .

Massa!

Vamo nessa!

Passo 2

No caso da nossa região, a parábola:

y = c 2 - x 2

tem concavidade virada para baixo, portanto deve limitar a região superiormente. Logo:

f x = c 2 - x 2

Consequentemente:

g x = x 2 - c 2

Quando aos pontos de intersecção a e b , vamos igualar as parábolas:

c 2 - x 2 = x 2 - c 2

∴ 2 c 2 = 2 x 2

∴ x = ± c

Portanto, podemos montar a seguinte integral sabendo que a área da região vale 576 :

576 =   ∫ - c c c 2 - x 2 - x 2 - c 2 d x

=   ∫ - c c 2 c 2 - 2 x 2 d x

= 2 c 2 x - 2 x 3 3 - c c

Logo:

576 = 2 c 3 - 2 c 3 3 - 2 c 2 - c - 2 - c 3 3

= 2 ⋅ 2 c 3 - 2 c 3 3

∴ 576 = 8 c 3 3

72 = c 3 3

Daí:

c 3 = 72 ⋅ 3

∴ c = 216 1 3

Portanto:

c = 6

Prontinho!!

Muito obrigado pela atenção gente, até a próxima 😉

Resposta

6

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