Esboce a curva e calcule a área da região indicada:

a) a região limitada por um laço de rosácea r = cos ⁡ 3 θ

Passo 1

Fala, galera! Vamos resolver essa questão!

O enunciado pediu pra gente esboçar a curva polar r = cos ⁡ 3 θ e calcular a área da região limitada por um laço de rosácea.

O gráfico de uma equação polar r = f ( θ ) consiste em todos os pontos P que tem pelo menos uma representação ( r ,   θ ) cujas coordenadas satisfaçam a equação. E a área dessa região é dada pela integral dupla:

A = ∬ D d A

Onde d A = r   d r d θ . Então, vamos descobrir como varia o raio r e o ângulo θ na nossa região para descobrir os nossos intervalos de integração.

Vamos lá!

Passo 2

A curva r = cos ⁡ 3 θ é uma rosácea de três pétalas ou laços. Com o auxílio de uma ferramente computacional, podemos plotar essa curva no gráfico:

Como a gente quer a área de apenas um laço, vamos pegar esse em amarelo. Assim, vamos restringir o intervalo para - π 6 ≤ θ ≤ π 6 . E o raio varia de 0 até cos ⁡ 3 θ . Então, montando nossa integral, vamos ter:

A = ∬ D d A

= �� - π / 6 π / 6 ∫ 0 cos ⁡ 3 θ   r   d r d θ

Passo 3

Então, integrando primeiro em relação a r , vamos ter:

∫ - π / 6 π / 6 r 2 2 0 cos ⁡ 3 θ d θ

Aplicando os limites de integração em r :

∫ - π / 6 π / 6 1 2 cos 2 ⁡ 3 θ d θ = 1 2 ∫ - π / 6 π / 6 cos 2 ⁡ 3 θ d θ

Passo 4

Antes de integrar em relação a θ , vamos fazer uma substituição antes e chamar t = 3 θ . Dessa forma, d t = 3 d θ → d t 3 = d θ . Além disso, quando θ = - π 6 , temos t = 3 - π 6 = - π 2 . Da mesma forma, quando θ = π 6 , temos t = π 2 . Então, substituindo tudo, vamos obter:

1 2 ∫ - π / 6 π / 6 cos 2 ⁡ 3 θ d θ = 1 6 ∫ - π / 2 π / 2 cos 2 ⁡ t d t

Pra integrar em relação a t , vamos primeiro usar a relação trigonométrica cos 2 ⁡ t = 1 + cos ⁡ ( 2 t ) 2 :

1 6 ∫ - π / 2 π / 2 cos 2 ⁡ t d t = 1 6 ∫ - π / 2 π / 2 1 + cos ⁡ ( 2 t ) 2 d t

= 1 6 ∫ 0 π / 2 1 + cos ⁡ ( 2 t ) d t

Então, integrando:

1 6 t + 1 2 sin ⁡ 2 t 0 π / 2

Aplicando os intervalos de integração:

= 1 6 π 2 + 1 2 sin ⁡ π - 0 + 1 2 sin ⁡ 0  

= 1 6 π 2 + 0 = π 12

Valeu, galera! Até a próxima! 😉

Resposta

π 12

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