Esboce a curva e calcule a área da região indicada:

b) a região limitada pela lemniscata r 2 = 4 cos ⁡ 2 θ

Passo 1

Fala, galera! Vamos resolver essa questão!

O enunciado pediu pra gente esboçar a curva polar r 2 = 4 cos ⁡ 2 θ e calcular a área da região limitada por essa lemniscata.

O gráfico de uma equação polar r = f ( θ ) consiste em todos os pontos P que tem pelo menos uma representação ( r ,   θ ) cujas coordenadas satisfaçam a equação. E a área dessa região é dada pela integral dupla:

A = ∬ D d A

Onde d A = r   d r d θ . Então, vamos descobrir como varia o raio r e o ângulo θ na nossa região para descobrir os nossos intervalos de integração.

Vamos lá!

Passo 2

A curva r 2 = 4 cos ⁡ 2 θ é uma lemniscata com quatro laços. Com o auxílio de uma ferramente computacional, podemos plotar essa curva no gráfico:

Pra calcular a área total dela, vamos multiplicar área de um laço por 4 . Como cada laço tem um ângulo no intervalo 0 ≤ θ ≤ π 4 , montando nossa integral, vamos ter:

A = ∬ D d A

= 4 ∫ 0 π / 4 ∫ 0 4 cos ⁡ 2 θ   r d r d θ

Passo 3

Então, integrando primeiro em relação a r , vamos ter:

4 ∫ 0 π / 4 r 2 2 0 4 cos ⁡ 2 θ d θ

Aplicando os limites de integração em r :

4 ∫ 0 π / 4 4 cos ⁡ 2 θ 2 2 d θ = 8 ∫ 0 π / 4 cos ⁡ 2 θ d θ

Passo 4

Antes de integrar em relação a θ , vamos fazer uma substituição e chamar t = 2 θ . Dessa forma, d t = 2 d θ → d t 2 = d θ . Além disso, quando θ = 0 , temos t = 0 . Da mesma forma, quando θ = π 4 , temos t = π 2 . Então, substituindo tudo, vamos obter:

8 ∫ 0 π / 4 cos ⁡ 2 θ d θ = 8 ∫ 0 π / 2 1 2 cos ⁡ t d t = 4 ∫ 0 π / 2 cos ⁡ t d t

Então, integrando em relação a t :

4 sin ⁡ t 0 π / 2

Aplicando os intervalos de integração:

= 4 1 + 0  

= 4

Valeu, galera! Até a próxima! 😉

Resposta

4

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