Esboce a região cuja área é dada pela integral e calcule-a.

a) ∫ π 2 π ∫ 4 7 r   d r d θ

Passo 1

Fala, galera! Vamos resolver essa questão!

O enunciado pediu pra gente calcular a integral dupla e esboçar a região que ela representa. Calcular a integral é tranquilo, a parte mais chatinha é o esboço do gráfico.

Mas calma, porque basta a gente perceber como as variáveis r e θ estão variando, de acordo com a ordem de integração. Repare que para o raio r , temos os seguintes limites:

4 ≤ r ≤ 7

E o ângulo θ tá variando dentro do intervalo:

π ≤ θ ≤ 2 π

Então, vamos usar isso para esboçar no gráfico no plano cartesiano e, em seguida, calcular nossa integral.

Vamos lá!

Passo 2

Já vimos que o raio está variando de 4 até 7 , então ele forma uma espécie de anel. Assim:

Mas a gente não quer todo o anel, a gente quer só a parte em que o ângulo varia de π até 2 π . Então, nossa região vai ser essa em amarelo:

Passo 3

Agora que já esboçamos gráfico da nossa região, vamos calcular a nossa integral:

∫ π 2 π ∫ 4 7 r   d r d θ

Integrando primeiro em relação a r :

∫ π 2 π r 2 2 4 7 d θ

Aplicando os intervalos de integração em r :

∫ π 2 π 7 2 2 - 4 2 2 d θ = ∫ π 2 π 49 2 - 16 2 d θ

= 33 2 ∫ π 2 π d θ

Agora integrando em relação a θ :

33 2 θ π 2 π

E aplicando os limites de integração em θ :

33 2 2 π - π

= 33 π 2

Valeu, galera! Até a próxima! 😉

Resposta

33 π 2

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