Esboce a região delimitada pelas curvas dadas. Decida quando integrar em relação a x ou a y . Desenhe um retângulo aproximante típico e coloque sua altura e largura. Então, calcule a área da região

(3) y = x 3 , y = - x 2 + 2 x , y ≥ 0

Passo 1

Faaala, galeeera! Tudo tranquilo por aí?

O objetivo principal dessa questão é calcular a área de uma região por meio da integração. Para isso precisamos esboçar as funções para entender a delimitação do local. Por fim, vamos desenhar o retângulo com sua altura e largura.

Primeiramente, devemos esboçar as funções. Temos uma função quadrática de concavidade para baixo, uma função cúbica. Veja a figura abaixo que representa a interseção entre elas.

Passo 2

Podemos agora calcular a interseção entre as funções, ou seja, o ponto em que as funções se cruzam. Observe que as funções se cruzam em determinados pontos. Vamos calcular a interseção?

Encontrando x :

x 3 = - x 2 + 2 x

x 3 + x 2 - 2 x = 0

Podemos colocar o x em evidência, dessa forma

x ( x 2 + x - 2 ) = 0

Fatorando

x ( x - 1 ) ( x + 2 ) = 0

x = 0

x - 1 = 0

x = 1

x + 2 = 0

x = - 2

Logo, temos a interseção que corresponde a área onde y é positivo em:

x = 0 e x = 1

Então, já sabemos que os limites de integração serão 0 e 1 .

Passo 3

O próximo passo é calcular a área da região por meio da integração. Sabemos que a área é dada por:

A = ∫ a b [ f x - g x ] d x

Em que, a f(x) é a função que delimita a parte superior da área e g(x) é a função que limita a parte inferior da área. Como mostra a figura abaixo

Substituindo os dados, temos:

A = ∫ 0 1 - x 2 + 2 x + x 3 d x

Separando a soma de integrais

A = ∫ 0 1 - x 2 d x + ∫ 0 1 2 x d x + ∫ 0 1 x 3 d x

Calculando a integral

A = - x 3 3 0 1 + 2 x 2 2 0 1 - x 4 4 0 1

A = - ( 1 ) 3 3 + 2 ( 1 ) 2 2 - ( 1 ) 4 4

A = 5 12

Até a próxima!

Resposta

A = 5 12

Exercícios de Livros Relacionados

Use um gráfico para dar uma estimativa grosseira da área da região que fica abaixo da curva dada. A seguir, ache a área exata y = sin ⁡ x , 0 ≤ x ≤ π
Use um gráfico para dar uma estimativa grosseira da área da região que fica abaixo da curva dada. A seguir, ache a área exata y = x - 4 , 1 ≤ x ≤ 6
Os economistas usam uma distribuição acumulada chamada curva de Lorenz para descrever a distribuição de renda entre as famílias em um dado país. Tipicamente, uma curva de Lorenz é definida no interval