Esboce a região delimitada pelas curvas dadas. Decida quando integrar em relação a x ou a y . Desenhe um retângulo aproximante típico e coloque sua altura e largura. Então, calcule a área da região

(1) y = x 2 , y = 8 x , x = 1

Passo 1

Faaala, galeeera! Tudo tranquilo por aí?

O objetivo principal dessa questão é calcular a área de uma região por meio da integração. Para isso precisamos esboçar as funções para entender a delimitação do local. Por fim, vamos desenhar o retângulo com sua altura e largura.

Primeiramente, devemos esboçar as funções. Temos uma função quadrática de concavidade para cima, uma hipérbole e uma reta paralela ao eixo y . Veja a figura abaixo que representa a interseção entre elas.

Passo 2

Podemos agora calcular a interseção entre as funções, ou seja, o ponto em que as funções se cruzam. Observe que as funções se cruzam em determinados pontos. Vamos calcular a interseção?

Encontrando x :

x 2 = 8 x

x 3 = 8

x = 8 3

x = 2

Logo, temos

x = 1 e x = 2

Então, já sabemos que os limites de integração serão 1 e 2 .

Passo 3

O próximo passo é calcular a área da região por meio da integração. Sabemos que a área é dada por:

A = ∫ a b [ f x - g x ] d x

Em que, a f(x) é a função que delimita a parte superior da área e g(x) é a função que limita a parte inferior da área. Como mostra a figura abaixo

Substituindo os dados, temos:

A = ∫ 1 2 8 x - x 2 d x

Separando a soma de integrais

A = ∫ 1 2 8 x d x - ∫ 1 2 [ x 2 ] d x

Calculando a integral

A = 8 ln ⁡ ( x ) 1 2 - 8 x 3 3 1 2

A = 8 ln ⁡ 2 - ln ⁡ 1 - 8 [ 2 3 2 - 2 3 2 ]

A = 8 ln ⁡ 2 - 8 [ 2 3 2 - 1 3 3 ]

A = 8 ln ⁡ 2 - 8 - 3,67 = 34,85

Resposta

A = 34,85

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