Esboce a região delimitada pelas curvas dadas. Decida quando integrar em relação a x ou a y . Desenhe um retângulo aproximante típico e coloque sua altura e largura. Então, calcule a área da região

(1) y = 8 x 2 , y = 8 x , x = 2

Passo 1

Faaala, galeeera! Tudo tranquilo por aí?

O objetivo principal dessa questão é calcular a área de uma região por meio da integração. Para isso precisamos esboçar as funções para entender a delimitação do local. Por fim, vamos desenhar o retângulo com sua altura e largura.

Primeiramente, devemos esboçar as funções. Temos uma função quadrática de concavidade para cima, uma reta com inclinação 8 e uma reta paralela ao eixo y . Veja a figura abaixo que representa a interseção entre elas.

Passo 2

Podemos agora calcular a interseção entre as funções, ou seja, o ponto em que as funções se cruzam. Observe que as retas y = 8 x e x = 2 se cruzam. Vamos calcular esse ponto?

Encontrando y :

y = 8 x = 8 2 = 16

Encontrando x :

16 = 8 x

x = 2

Logo, I n t e r s e ç ã o = P ( 2,16 )

Calculando a interseção entre y = 8 x e y = 8 x 2 , temos que

8 x 2 = 8 x

x = 0 ou x = 1

Então, já sabemos que os limites de integração serão 0 e 2 .

Passo 3

O próximo passo é calcular a área da região por meio da integração. Sabemos que a área é dada por:

A = ∫ a b [ f x - g x ] d x

Em que, a f(x) é a função que delimita a parte superior da área e g(x) é a função que limita a parte inferior da área. Como mostra a figura abaixo

Substituindo os dados, temos:

A = ∫ 0 2 [ 8 x 2 - 8 x ] d x

Separando a soma de integrais

A = ∫ 0 2 [ 8 x 2 ] d x - ∫ 0 2 [ 8 x ]

Calculando a integral

A = 8 x 3 3 0 2 - 8 x 2 2 0 2

A = 8 ( 2 ) 3 3 - 8 2 2 2 = 5,333

Resposta

A = 5,333

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