Esboce a região delimitada pelas curvas dadas. Decida quando integrar em relação a x ou a y . Desenhe um retângulo aproximante típico e coloque sua altura e largura. Então, calcule a área da região

(10) y = x 2 - 4 x , y = 4 x - x 2

Passo 1

Faaala, galeeera! Tudo tranquilo por aí?

O objetivo principal dessa questão é calcular a área de uma região por meio da integração. Para isso precisamos esboçar as funções para entender a delimitação do local. Por fim, vamos desenhar o retângulo com sua altura e largura.

Primeiramente, devemos esboçar as funções. Temos duas funções quadráticas, uma com concavidade para baixo e outra com concavidade para cima. Veja a figura abaixo que representa a interseção entre elas.

Passo 2

Devemos obter a interseção entre as curvas. Primeiramente, para esboçar as curvas vamos encontrar as raízes dessas funções.

Para y = x 2 - 4 x :

x = - b ± b 2 - 4 a c 2 a = - ( - 4 ) ± ( - 4 ) 2 - 4 ( 1 ) ( 0 ) 2 ( 1 ) = 4 ± 4 2

Logo, as raízes são

x ' = 4 + 4 2 = 4

x ' = 4 - 4 2 = 0

Para y = 4 x - x 2 :

x = - b ± b 2 - 4 a c 2 a = - ( 4 ) ± ( 4 ) 2 - 4 ( 1 ) ( 0 ) 2 ( - 1 ) = - 4 ± 4 2

Logo, as raízes são

x ' = - 4 + 4 - 2 = 0

x ' = - 4 - 4 - 2 = 4

Note que as raízes de ambas são iguais, logo essas funções se cruzam nesses valores de x . Esses são locais de interseção entre elas, tranquilo?

Passo 3

O próximo passo é calcular a área da região por meio da integração. Sabemos que a área é dada por:

A = ∫ a b [ f x - g x ] d x

Em que, a f(x) é a função que delimita a parte superior da área e g(x) é a função que limita a parte inferior da área. Como mostra a figura abaixo

Substituindo os dados para calcular a área, temos:

A = ∫ 0 4 4 x - x 2 - ( x 2 - 4 x ) d x

Calculando a integral

A = 4 x 2 2 - x 3 3 - x 3 3 - 4 x 2 4 0 4

A = 2 ( 4 ) 2 - ( 4 ) 3 3 - ( 4 ) 3 3 - 2 ( 4 ) 2

A = 32 - 21,3 - 21,3 - 32

A = 21,4

Até a próxima!

Resposta

A = 21,4

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