Esboce a região delimitada pelas curvas dadas. Decida quando integrar em relação a x ou a y . Desenhe um retângulo aproximante típico e coloque sua altura e largura. Então, calcule a área da região

(4) y = 3 | x | , y = 4 - x 2 , y ≥ 0

Passo 1

Faaala, galeeera! Tudo tranquilo por aí?

O objetivo principal dessa questão é calcular a área de uma região por meio da integração. Para isso precisamos esboçar as funções para entender a delimitação do local. Por fim, vamos desenhar o retângulo com sua altura e largura.

Primeiramente, devemos esboçar as funções. Temos uma função quadrática de concavidade para baixo e uma função modular. Veja a figura abaixo que representa a interseção entre elas.

Passo 2

Podemos agora calcular a interseção entre as funções, ou seja, o ponto em que as funções se cruzam. Observe que as funções se cruzam em determinados pontos. Vamos calcular as interseções?

Encontrando x :

Primeiramente, devemos igualar as funções

3 x = 4 - x 2

Considerando 3 x ≥ 0

3 x = 4 - x 2

x 2 + 3 x - 4 = 0

Obtendo o delta da equação

∆ = b 2 - 4 a c = 3 2 - 4 1 - 4 = 25

Encontrando as raízes

x = - b ± ∆ 2 a

x ' = - 3 + 25 2 = - 3 + 5 2 = 1

x ' ' = - 3 - 25 2 = - 3 - 5 2 = - 4

Quando:

x ' = 1 ⇒ y = 3 x = 3 1 = 3

x ' ' = - 4 ⇒ y = 3 x = 3 - 4 = - 12

Considerando 3 x < 0

- 3 x = 4 - x 2

x 2 - 3 x - 4 = 0

Obtendo o delta da equação

∆ = b 2 - 4 a c = ( - 3 ) 2 - 4 1 - 4 = 25

Encontrando as raízes

x = - b ± ∆ 2 a

x ' = - ( - 3 ) + 25 2 = 3 + 5 2 = 1

x ' ' = - ( - 3 ) - 25 2 = 3 - 5 2 = - 4

Quando:

x ' = 4 ⇒ y = 3 x = 3 4 = 12

x ' ' = - 1 ⇒ y = 3 x = 3 - 1 = - 3

Logo, temos os pontos:

P 1 = ( 1,3 )

P 2 = ( - 4 , - 12 )

P 3 = ( 4 , 12 )

P 4 = ( - 1 , - 3 )

Então, já sabemos que os limites de integração serão 1 e - 1 . Por que? Porque quando traçamos o gráfico com os pontos obtidos, esses valores de   x são aqueles em que as funções se encontram quando   y ≥ 0 .

Passo 3

O próximo passo é calcular a área da região por meio da integração. Sabemos que a área é dada por:

A = ∫ a b [ f x - g x ] d x

Em que, a f(x) é a função que delimita a parte superior da área e g(x) é a função que limita a parte inferior da área. Como mostra a figura abaixo

Substituindo os dados, temos:

A = ∫ - 1 0 4 - x 2 + 3 x d x + ∫ 0 1 4 - x 2 - 3 x d x

Calculando a integral

A = 4 x - x 3 3 + 3 x 2 2 - 1 0 + 4 x - x 3 3 - 3 x 2 2 0 1

A = 4 - 1 3 - 3 2 + 4 - 1 3 - 3 2

A = 13 6 + 13 6 = 4,333

Note que: Dividimos em duas áreas iguais para calcular cada área e somar. Porém, como as áreas são exatamente iguais(simétricas), podemos calcular somente um lado do eixo y e multiplicar o resultado por 2 , ok?

Até a próxima!

Resposta

A = 4,333

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