Esboce a região delimitada pelas curvas dadas. Decida quando integrar em relação a x ou a y . Desenhe um retângulo aproximante típico e coloque sua altura e largura. Então, calcule a área da região

(6) y = 2 - x , y = x 2 2 , x ≥ 0

Passo 1

Faaala, galeeera! Tudo tranquilo por aí?

O objetivo principal dessa questão é calcular a área de uma região por meio da integração. Para isso precisamos esboçar as funções para entender a delimitação do local. Por fim, vamos desenhar o retângulo com sua altura e largura.

Primeiramente, devemos esboçar as funções. Temos uma função quadrática de concavidade para baixo e uma função modular. Veja a figura abaixo que representa a interseção entre elas.

A área a ser calculada é

Passo 2

Podemos agora calcular a interseção entre as funções, ou seja, o ponto em que as funções se cruzam. Observe que as funções se cruzam em um ponto. Vamos calcular a interseção?

Encontrando x :

ln ⁡ ( 2 - x ) = ln ⁡ x 2 2

Aplicando a função l o g em ambos os lados:

- x log ⁡ 2 = log ⁡ x 2 2

- x = 2 log ⁡ x - log ⁡ 2

- x = 2 log ⁡ x - 1

- x - 1 + x 2 = - 1

x = 1

Vamos descobrir onde a função quadrática corta o eixo x, ou seja, encontrar suas raízes.

x 2 2 = 0

0,5 x 2 = 0

x = 0

Então, já sabemos que os limites de integração serão 0 e 1 . Por que? Porque quando traçamos o gráfico esses pontos delimitam a área, no eixo x, que precisamos encontrar.

Passo 3

O próximo passo é calcular a área da região por meio da integração. Sabemos que a área é dada por:

A = ∫ a b [ f x - g x ] d x

Em que, a f(x) é a função que delimita a parte superior da área e g(x) é a função que limita a parte inferior da área. Como mostra a figura abaixo

Substituindo os dados, temos:

A = ∫ 0 1 2 - x - x 2 2 d x

Calculando a integral

Saiba que:

∫ a x = a x ln ⁡ a

Logo, temos

A = - 2 - x ln ⁡ 2 - 1 2 x 3 3 0 1

A = - 2 - 1 ln ⁡ 2 + 2 0 ln ⁡ 2 - 1 2 1 3 3

A = - 0,71 + 1,44 - 0,166

A = 0,56

Até a próxima!

Resposta

A = 0,56

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