Esboce a região delimitada pelas curvas dadas. Decida quando integrar em relação a x ou a y . Desenhe um retângulo aproximante típico e coloque sua altura e largura. Então, calcule a área da região

(3) y = x 3 , y = 4 - x 2 , y ≥ 0

Passo 1

Faaala, galeeera! Tudo tranquilo por aí?

O objetivo principal dessa questão é calcular a área de uma região por meio da integração. Para isso precisamos esboçar as funções para entender a delimitação do local. Por fim, vamos desenhar o retângulo com sua altura e largura.

Primeiramente, devemos esboçar as funções. Veja a figura abaixo que representa a interseção entre elas.

Para essa questão vamos dividir a área em duas, como mostra a figura abaixo

Passo 2

Podemos agora calcular a interseção entre as funções, ou seja, o ponto em que as funções se cruzam. Observe que as funções se cruzam em determinados pontos. Vamos calcular as interseções?

Calculando a interseção entre y = x 3 e 4 - x 2 , temos

x 3 = 4 - x 2

Aplicando a função logarítmica em ambos os lados

ln ⁡ ( x 3 ) = ln ⁡ 4 - ln ⁡ ( x 2 )

3 ln ⁡ ( x ) = ln ⁡ ( 4 ) - ln ⁡ ( x 2 )

3 ln ⁡ ( x ) + 2 ln ⁡ ( x ) 1,39

5 ln ⁡ ( x ) = 1,39

ln ⁡ ( x ) = 0,28

x = e 0,28

x = 1,32

Área 1:

Para a primeira área, devemos calcular a as raízes de y = 4 - x 2

x = - 0 ± 0 2 - 4 ( - 1 ) ( 4 ) 2 ( - 1 ) = ± 16 - 2

x ' = - 2

x ' ' = 2

Passo 3

O próximo passo é calcular a área da região por meio da integração. Sabemos que a área é dada por:

A = ∫ a b [ f x - g x ] d x

Em que, a f(x) é a função que delimita a parte superior da área e g(x) é a função que limita a parte inferior da área. Como mostra a figura abaixo

Substituindo os dados para calcular a primeira área, temos:

A 1 = ∫ - 2 0 4 - x 2 - 0 d x

Calculando a integral

A 1 = 4 x - x 3 3 - 2 0 = - - 8 - 8 3 = 5,33

Substituindo os dados para calcular a segunda área, temos:

A 2 = ∫ 0 1,32 4 - x 2 - x 3 d x

Calculando a integral

A 2 = 4 x - x 3 3 - x 4 4 0 1,32

A 2 = 4 1,32 - 1,32 3 3 - ( 1,32 ) 4 4

A 2 = 5,28 - 0,77 - 0,75

A 2 = 3,76

Note que: Dividimos em duas áreas. Logo, devemos somar o valor obtido em cada uma para encontrar o valor da área total, beleza?

A = A 1 + A 2 = 5,33 + 3,76

A = 9,09

Até a próxima!

Resposta

A = 9,09

Exercícios de Livros Relacionados

Use um gráfico para dar uma estimativa grosseira da área da região que fica abaixo da curva dada. A seguir, ache a área exata y = sin ⁡ x , 0 ≤ x ≤ π
Use um gráfico para dar uma estimativa grosseira da área da região que fica abaixo da curva dada. A seguir, ache a área exata y = x - 4 , 1 ≤ x ≤ 6
Os economistas usam uma distribuição acumulada chamada curva de Lorenz para descrever a distribuição de renda entre as famílias em um dado país. Tipicamente, uma curva de Lorenz é definida no interval